منو
 صفحه های تصادفی
ص ه آمریکا
رمز گردانی در حافظه کوتاه مدت و حافظه دراز مدت
رشته سینما شاخه فنی و حرفه ای
جنگ خیبر
تولیت
نابودی تدریجی صوفیان در دولت صفوی
ستارگان دجاجه
فریاد استغاثه امام حسین علیه السلام در روز عاشورا
تقارن و بازتاب
استفاده از لرزش در تناسب اندام
 کاربر Online
576 کاربر online

گراف دو بخشی

تازه کردن چاپ
علوم ریاضی
(cached)

گراف دو بخشی:
مفهوم شهودی:
فرض کنید در یک شرکت صنعتی تعدادی شغل بدون متصدی می باشند و تعدادی متقاضی برای این مشاغل اعلام آمادگی نموده اند. حال این سوال مطرح می شود که آیا می توان به هر متقاضی شغلی متناسب او اختصاص داد؟
برای حل چنین مسئله ای که به مسئله ی تخصیص موسوم است، با استفاده از گراف می توان وضعیت های خاص را پیاده سازی نمود. بدین ترتیب که گروهی که متقاضی مشاغل هستند در مجموعه ای به نام X و مجموعه مشاغل بدون متصدی را در مجموعه ای به نام Y قرار می دهیم. گراف رسم شده چنین است که به بعضی از اعضای مجموعه X یک یا چند عضو از مجموعه Y توسط یال ها وصل می نماید.
به عبارت دیگر گراف بوجود امدی دارای یالهای xy است که مر متقاضی x را از مجموعه X به شغلهای مناسب y از مجموعه Y متصل می نماید. به عبارت دقیقتر هیچ دو راس متعلق به مجموعه X(متفاضیان) یا هیچ دو راس متعلق به مجموعه Y(مشاغل) توسط هیچ یالی به هم متصل نمی باشند. چنین گرافی را گراف دوبخشی یا دوپارچه می گویند.

تعریف گراف دوبخشی:
گراف دوبخشی گرافی است که بتوان مجموعه رئوس آن را به دو مجموعه X و Y چنان افراز نمود که هر یال آن دارای یک انتها در X و یک انتها در Y باشد، به گونه ای که هیچ دوراسی در X یا در Y با هم مجاور نباشند. چنین افرازی را دوبخشی کردن گراف می نامند.

  • یادآوری: منظور از افراز یک مجموعه چون A به چند مجموعه، تقسیم مجموعه A به چند مجموعه ناتهی دیگر است که باهم اشتراکی نداشته باشند و اجتماع همه آنها برابر مجموعه A باشد. و در اینجا اگر V به عنوان مجموعه رئوس باشد افراز V به دو مجموعه X و Y (ناتهی) به این صورت است که:
به عنوان مثال گراف زیر یک گراف دو بخشی است:
تصویر

چرا که در این گراف مجموعه رئوس را می توان به دو مجموعه و
چنان افراز نمود که هیچ دو راسی در این دو مجموعه با هم مجاور نباشند و هر یال تنها یک انتها در مجموعه اول و یک انتها در مجموعه دوم داشته باشد.

  • قضیه: اگر گراف k-منتظم، دارای دوبخش X و Y باشد، آنگاه تعداد عناصر X و Y باهم برابر است.
برهان:
فرض می کنیم X دارای m راس و Y دارای n راس از راسهای گراف دو بخشی k-منتظم می باشد. یشان می دهیم که: m=n.
از هر راس در مجموعه X به تعداد k، یال خارج می شود(چرا؟) پس تعداد کل یالها(q) برابر است با: q=km
چون جمعا" m+n راس داریم، لذا مطابق قضیه مجموع درجه های راس ها و تعریف گراف k-منتظم داریم:

پس:

و لذا حکم برقرار است.


گراف دو بخشی کامل:
گراف دو بخشی کامل یک گراف دو بخشی است که مجموع رئوس آن به دو مجموعه X و Y چنان افراز شده است و هر راس در ان به هر راس وصل شده است. گراف دو بخشی کامل را با نماد نشان می دهند که در آن m تعداد عناصر مجموعه X و n تعداد عناصر مجموعه Y است.

  • به عنوان مثال گراف زیر یک گراف دو بخشی کامل است.
تصویر


  • قضیه: در گراف دو بخشی کامل همواره داریم: که در آن q اندازه گراف مذکور است.
برهان:
می دانیم گراف دارای m راس در یک مجموعه و n راس در مجموعه ای دیگر است.
تعداد کل راس ها P=m+n می باشد(مرتبه گراف). اما برای یافتن تعداد یالهای گراف دو بخشی کامل ابتدا تعداد کل یالهای یک گراف کامل از مرتبه P=m+n را محاسبه کرده سپس تعداد کل یالهایی که راس های دو مجموعه را در خود دو مجموعه به هم وصل می کند از آن کم می کنیم. داریم:



  • قضیه: اگر G یک گراف ساده و دو بخشی از مرتبه p و اندازه q باشد آنگاه:
برهان:
چون گراف دو بخشی است مطابق قضیه قبل حداکثر یال آن برابر است با:
که m تعداد یال بخش X و n تعداد یال بخش Y است.(بیشترین تعداد یال مربوط به زمانی است که گراف، دو بخشی کامل باشد).
از طرفی می دانیم که: پس: , داریم:

چون u آهنگ تغییرات تعداد یال را نشان می دهد و پس از نتیجه می شود که:
ضمنا" می دانیم که:

پس بیشترین مقدار u در نقطه اتفاق می افتد، یعنی:

بنابراین تعداد کل یالها نمی تواند از بیشتر باشد و لذا
:


همچنین ببینید:

تعداد بازدید ها: 32454


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..