گروه مشتق
جابجاگر
گروه مشتق ( گروه جابجاگرها )
قضیهها
قضیه 1.
قضیه 2.
همچنین ببینید
پیوندهای خارجی
جابجاگر
اگر
، آنگاه عنصر
را جابجاگر
مینامند و نشان میدهیم :
اگر
گروه جابجایی
باشد ،آنگاه
و برعکس.
در حالت کلی
مجموعه
تمام جابجاگرها یک
گروه
را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجاگر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
برای هر
داریم:
گروه مشتق ( گروه جابجاگرها )
اگر
یک گروه باشد ، مجموعه
را به صورت زیر تعریف می کنیم :
که
معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است .
را
گروه مشتق
یا
جابجاگر
های
می نامند.
قضیهها
قضیه 1.
اگر
یک
گروه
باشد ،آنگاه
اثبات :
میدانیم
.زیرا
و همچنین
.
حال فرض می کنیم
دلخواه باشند . ثابت کنیم
:
بنابراین:
لذا
. حال ثابت می کنیم
:
قضیه 2.
اگر
و همچنین
باشد ،آنگاه
جابجایی است اگر و فقط اگر
اثبات:
فرض کنیم
عناصر دلخواه
باشند.
میدانیم
عنصر خنثی
زیرگروه خارجقسمتی
است.
جابجاگر دلخواه
را از گروه
در نظر میگیریم . آنگاه
جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
همچنین ببینید
زیرگروه خارجقسمتی
پیوندهای خارجی
mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html
تعداد بازدید ها: 14998