جسم صلبی که آزاد باشد و تحت تاثیر نیروی وزن خود حول یک ثابت دوران کند، آونگ مرکب نامیده می‌‌شود.

ساختمان آونگ مرکب

جسم صلبی را در نظر بگیرید که از یک نقطه آویزان شده است و می‌‌تواند آزادانه حول آن نقطه دوران کند. فرض کنید محور دوران از مرکز جرم جسم عبور نمی‌‌کند و مکان هر نقطه روی جسم صلب به وسیله زاویه θ بین خط قائم و خط واصل بین آن نقطه و نقطه o که دوران حول آن صورت می‌‌گیرد، مشخص می‌‌شود. زاویه θ را به خطی اختصاص می‌‌دهیم که از مرکز جرم و نقطه ثابت o می‌‌گذرد و با محور قائم ساخته می‌‌شود.

تشریح نوسان آونگ مرکب

فاصله مرکز جرم از نقطه ثابت o را با h نشان می‌‌دهیم. در راستای خط واصل بین مرکز جرم و نقطه ثابت ، در روی جسم و در طرف دیگر مرکز نقطه دیگری به نام o\prime از مرکز جرم قرار دارد، را اختیار می‌‌کنیم. تنها نیرویی که بر جسم اعمال می‌‌شود، نیروی وزن آن (Mg) است که در امتداد قائم و بر نقطه مرکز جرم وارد می‌‌شود.

نیروی ثقل یا نیروی وزن جسم صلب گشتاور نیرویی را اعمال می‌‌کند که سبب دوران یا نوسان جسم حول نقطه o می‌‌گردد. بنابراین به راحتی می‌‌توانیم با استفاده از روابط دینامیک دورانی جسم صلب ، معادله حرکت آونگ مرکب را بر حسب مشتقات θ به صورت زیر بنویسیم:



در رابطه فوق I ، ممان اینرسی یا لختی دورانی جسم صلب است.

فرض می‌‌کنیم که تعداد نوسان یا دامنه نوسان به اندازه‌ای کوچک باشد که بتوانیم از تقریب \sin θ \simeq θ استفاده کنیم. در این صورت معادله حرکت به فرم ساده در می‌‌آید.

دوره تناوب و فرکانس نوسان آونگ مرکب

از آنجا که حرکت آونگ مرکب یک حرکت نوسانی بوده و از نوع حرکت نوسانگر هماهنگ ساده است، لذا در مقایسه با معادله حرکت نوسانگر هماهنگ ساده می‌‌توانیم دوره تناوب آونگ مرکب را به صورت زیر تعریف کنیم:



البته این رابطه را می‌‌توان با استفاده از تعریف دوره تناوب (زمان لازم برای یک نوسان با رفت و برگشت کامل) و با تشکیل یک تناسب بدست آورد. همچنین می‌‌دانیم که فرکانس نوسان به صورت f = \frac{1}{T} با دوره تناوب (T) رابطه دارد. بنابراین فرکانس نوسان آونگ مرکب که به صورت تعداد نوسان کامل در مدت زمان T تعریف می‌‌شود، به صورت زیر قابل بیان است:

مرکز نوسان آونگ مرکب

با استفاده از قضایای مربوط به تعیین ممان اینرسی یا گشتاور لختی (قضیه محورهای موازی) می‌‌توان گشتاور لختی آونگ مرکب را به صورت زیر نوشت:



در رابطه فوق I ، گشتاور لختی نسبت به محور دوران و I_c.m گشتاور لختی نسبت به محوری که از مرکز جرم عبور می‌‌کند، است. اگر شعاع چرخش را K و شعاع چرخش حول مرکز جرم را با K_c.m نشان ‌دهیم، رابطه فوق به صورت زیر در می‌‌آید:



حال اگر این مقادیر را در رابطه دوره تناوب قرار دهیم، دوره تناوب به صورت در می‌‌آید و اگر فرض کنیم که محور دوران به جای نقطه o که به فاصله h از مرکز جرم قرار دارد، به نقطه o\prime = T باشد، نقطه o\prime به رابطه می‌‌رسیم که به عنوان شرط مرکز نوسان بودن یک نقطه بیان می‌‌شود.

معرفی شعاع چرخش

در عبارت فوق K و K_c.m را به عنوان شعاع چرخش معرفی کردیم. تعریف شعاع چرخش به تعریف گشتاور لختی برمی‌‌گردد. می‌‌دانیم که اگر دوران حول محور ثابت در نقطه o صورت گیرد، ممان اینرسی یا گشتاور لختی به صورت حاصل‌ضرب جرم در مجذور فاصله عمودی از محور دوران تعریف می‌‌شود. به صورت سمبولیک گشتاور لختی را به فرم MK^2 تعریف می‌‌کنند و K را شعاع چرخش می‌‌نامند.

به عنوان مثال ، یک میله یکنواخت نازک به طول l را در نظر بگیرید که در حال نوسان است. اگر این میله را به عنوان یک آونگ مرکب در نظر بگیریم که حول یک انتهای خود نوسان کند، در این صورت گشتاور لختی برابر خواهد بود. بنابراین شعاع چرخش است. در صورتی که می‌‌دانیم اگر میله حول محوری که از مرکز جرم آن گذشته است، نوسان کند، گشتاور لختی مربوط به صورت و شعاع چرخش حول مرکز جرم است.

دوره تناوب آونگ مرکب در حالت کلی

در نوشتن معادلات حرکت آونگ مرکب فرض کردیم که نوسان به صورتی باشد که بتوانیم از تقریب Sinθ \simeq θ استفاده کنیم و لذا اگر دامنه نوسان به قدری بزرگ باشد که تقریب فوق اعتبار خود را از دست بدهد، در این صورت فرمول دوره تناوب درست نخواهد بود. در این صورت می‌‌توان مسئله را با توسل به قواعد انتگرالگیری بیضوی بحث نموده و رابطه‌ای به صورت برای دوره تناوب بدست آورد. تابع F(K , {π \over 2}) که در این عبارت ظاهر می‌‌شود به انتگرال بیضوی نوع اول معروف است که مقدار آن به ازای مقادیر مختلف K به صورت جدول در کتابهای ریاضی ارائه می‌‌شود.

هنگامی ‌که دامنه نوسان به سمت 180 درجه میل کند، مقادیر انتگرال بیضوی @واگرا خواهد بود و تناوب به سمت بینهایت میل خواهد کرد. از لحاظ نظری این مطلب بدین معنی است که اگر یک آونگ مرکب مانند یک جسم صلب دقیقا در موقعیت قائم با سرعت اولیه‌ای که مقدار مطلق آن صفر است، قرار گرفته باشد، در همان وضعیت ناپایدار به صورت نامحدود باقی خواهد ماند.

مباحث مرتبط با عنوان

• جسم صلب
• دوره تناوب
• فرکانس
• قضیه محورهای موازی
• گشتاور نیرو
• مرکز جرم
• ممان اینرسی
• نوسان
• نوسانگر هماهنگ ساده
• نیرو
• نیروی ثقل