|
یاد آوری:
فرض کنید
یک هم‌ریختی است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
- اگر
، آنگاه مجموعه 
زیرگروه 
است.
- اگر
، آنگاه 
زیرگروه نرمال 
و 
زیرگروه نرمال است.
- اگر
پوشا و 
باشد ، آنگاه 
قضیه اول یک‌ریختی گروهها:
اگر یک هم‌ریختی باشد ، آنگاه 
با زیر گروهی از 
یک‌ریخت است . به ویژه اگر یک هم‌ریختی پوشا باشد ، آنگاه 
اثبات:
فرض می‌کنیم
.آنگاه 
با ضابطۀ
تعریف می‌کنیم. طبق قضیه اساسی هم‌ریختی ،
یک یک‌ریختی است . لذا 
که 
در صورتیکه
هم‌ریختی پوشا باشد ، آنگاه 
. در نتیجه 
نتیجه:
اگر گروه متناهی و یک هم‌ریختی پوشا (اپی‌مورفیسم) باشد ، آنگاه :
اثبات:
طبق قضیه فوق:
بنابراین :
