در ((ریاضیات))، __تابع__ رابطه ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از ((مجموعهریاضی|مجموعه)) ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه های ریاضی به حساب می آید.
مفاهیم تابع، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می شوند.
تعریف:
تابع یک قاعده ای است که ورودیهایی را می گیرد و خروجیهایی را به ما پس می دهد. مثالهایی را ذکر می کنیم.
*هر شخص دارای هشت رنگ مورد علاقه دارند (قرمز، نارنجی، زرد، سبز، آبی، بنفش، نیلی، صورتی) رنگ مورد علاقه یک تابع انسانی است. برای مثال علی رنگ قرمز را دوست دارد. در حالی که کیارش رنگ بنفش را دوست دارد.در اینجا، ورودی یک مشخص است ولی خروجی یکی از هشت رنگ است. باید به نکته توجه کرد که چند شخص می توانند یک رنگ را انتخاب کنند.
*یک سنگ از طبقات مختلف یک ساختمان رها می شود. این سنگ در 2 ثانیه، 2 طبقه را پائین می رود و در 4 ثانیه، 8 طبقه را پایین می رود. در اینجا، طبقات به عنوان ورودی و تعداد ثانیه ها به عنوان خروجی به حساب می آیند.
قاعده تعریف یک تابع می تواند به وسیله یک فرمول، رابطه و یا یک جدول ساده که ورودیها و خروجیها را در برابر هم قرار می دهد، باشد.
در توابع، ورودیها به عنوان متغیر تابع و خروجیها به عنوان ارزش تابع شناخته می شوند.
یک نمونه از توابع، توابعی است که رابطه متغیر تابع با ارزش تابع به صورت یک فرمول بیان می شود. و ارزش تابع از جایگزین متغیر در فرمول بدست می آید.
به عنوان مثال:
بیان می کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند
تعریف ریاضی ! (رابطه زمانی تابع است که برای هر حداکثر یک موجود باشد) به طور رسمی اگر تابعی از مجموعه به توی باشد آن گاه این را با نشان می دهند. که این یک رابطه میان را بیان می کند در این حالت هایی را که در تابع تعریف شده است را دامنه تابع و مقادیر بدست آمده را به ازای، های موجود در دامنه را برد گویند.
تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع، مثالهایی در زیر ذکر می کنیم.
این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است
این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر یک موجود دارد
این رابطه یک تابع است اما یک به یک نمی تواند باشد
خواص توابع
توابع می توانند
1) زوج یا فرد باشند. 2) پیوسته یا ناپیوسته باشند. 3) حقیقی یا مختلط باشند. 4) عددی یا برداری باشند.
توابع چند متغیره:
یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغییر داشته باشد برای مثال یک تابع است که دارای سه پارامتر است که یک ارزش را برای تابع تولید می کنند. از توابع چند متغییره می توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با متغییر و نیز یک متغییر برای فاصله هر جرم به نام در آن وجود دارد.
این تابع نیاز به سه پارامتر دارد تا مقدار را حساب نماید.