از اصول شمارش در مکانیک آماری و ترمودینامیک آماری استفاده میشود. در این دو شاخه به مساله تعیین تعداد طرقی که می توان ذره زیر اتمی را بین حالت انرژی توزیع کرد ،علاقه‌مندیم.
در مدل ماکسول ـ بولتسمان ذرات متمایز فرض می شوند و هر تعدادی از ذرات ممکن است در هر حالت انرژی باشد. دراین صورت،  توزیع ممکن به دست آوریم. زیرا برای هر یک از r ذره مورد بحث،n حالت انرژی ممکن وجود دارد. (نظریه نوین مکانیک کوانتومی نشان داده است که برای آن ذرات زیر اتمی که تا حال شناخته شده اند، این مدل نامناسب است.)
دو مدل موفقتر مدلهای بوز ـ انیشتین و فرمی ـ دیراک است، که از آغاز بر اساس اندازه حرکتهای زاویه ای ذاتی ذرات بنا شدند.
در مدل بوز ـ اینشتین، r ذره یکسان فرض می شوند و هر تعدادی از ذرات ممکن است در هر حالت انرژی باشند.
|
|
در این صورت تعداد توزیعهای متفاوت برابر است با تعداد جوابهای صحیح نامنفی
و این هم با  برابر است. ذراتی که دارای اسپین صحیح هستند از این مدل پیروی می کنند. چنین ذراتی که بوزون نامیده می شوند. شامل فوتون‌ها، پی مزو‌‌‌ن‌ها، و جفت الکترون‌های رسانشی در مواد ابررسانا، مانند سرب و قلع هستند.
برای ذراتی که دارای اسپین نیم صحیح هستند، مانند پروتون‌ها، الکترونها، و نوترونها، مدل فرمی ـ دیراک مناسبتر است، و چنین ذراتی را فرمیون می نامند. در این مدل، باز r ذره مورد بحث یکسان اند، ولی هر حالت انرژی میتواند حداگثر شامل یک ذزه باشد.در نتیجه ،در اینجا r<=n،و تعداد توزیعهای ممکن برابر با  است(این مدل در مطالعه نظریه نوار نیم‌رسانا بسیار سودمند است)
|
