مقدمه
توابع پیوستهای که بر نواحی بسته و کراندار صفحه
تعریف میشوند در
دامنه خود مقادیر Max و Min دارند. توانایی ما در بدست آوردن این مقادیر و یافتن محل وقوع آنها اهمیت دارد. مثلا بیشترین دمای لبه یک ورقه حرارت دیده چقدر است؟ بالاترین نقطه یک رویه مفروض در بالای یک بخش مشخصی از صفحه
کدام است؟ به این قبیل پرسشها با
مشتقات جزئی براحتی میتوان پاسخ داد. مشتقات جزئی مبنای بدست آوردن تقریبهای خطی ، محاسبه نموها و برآورد خطاهای تقریبی نیز نقش دارند مشتقات جزئی مبنای بدست آوردن صورت دو متغیره ظریف و کارسازی از
فرمول تیلر نیز هستند.
ماکسیممها ، مینیممها و نقاط زینی
توابع دارای دو متغیر مستقل نیز مانند توابع یک متغیره میتوانند Max و Min موضعی داشته باشند. برای بدست آوردن مقادیر Max و Min یک تابع پیوسته چون
توسط مشتقات جزئی گام اول ، استفاده از
مشتقات جزئی مرتبه اول تابع است که با آن ، فهرست کوتاه و جامعی از نقاطی را بدست میآوریم که در آنها
ممکن است مقادیر
اکسترمم موضعی خود را در اختیار گیرد. گام بعدی به این بستگی دارد که R بسته و کراندار باشد یا خیر. در صورتی که باشد به قضیهای از
حساب دیفرانسیل و انتگرال پیشرفته متوسل میشویم که حاکی است هر تابع پیوسته بر یک ناحیه بسته و کراندار چون R یک مقدار Max و Min مطلق دارد. سپس بکمک فهرستی که تهیه کردیم مقادیر Max و Min مطلق را مییابیم. اگر R بسته و کراندار نباشد تابع ممکن است در این بازه مقادیر
اکسترمم مطلق نداشته باشد. باوجود این توسط
مشتقات جزئی مرتبه دوم میتوانیم به تلاش خود ادامه دهیم و از صحت یا عدمصحت این نکته اطمینان حاصل کنیم تا نقاطی از فهرست را که دارای اکسترمم موضعیاند را شناسایی کنیم. اختلاف عمده این روش با روش توابع یک متغیره در این است که آزمونهای مشتقات اول و دوم در این مورد با مشتقات زیادتری سروکار دارند.
آزمونهای مشتق
تساوی
به ازای یک نقطه درونی
از R به تنهایی تضمین نمیکند که f در آن نقطه یک مقدار اکسترمم داشته باشد. اما اگر f و مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم آن بر R پیوسته باشند، آزمونی موسوم به
آزمون مشتق دوم وجود دارد که ممکن است رفتار
در
را مشخص کند بدین ترتیب که اگر
آنگاه:
الف) f در
یک Max موضعی دارد هرگاه در
داشته باشیم:
ب) f در
یک Min موضعی دارد هرگاه در
داشته باشیم:
ج) f در
یک Minنقطه زینی دارد هرگاه در
داشته باشیم:
این آزمون درباره
نتیجهای نمیدهد. برای بدستآوردن مقادیر اکسترمم خمیهایی مثل
، f را بصورت تابعی از t تلقی میکنیم و مقادیر اکسترمم f را مانند توابع یک متغیره بدست میآوریم.
تقریب خطی و برآورد نمو
در علوم تجربی و ریاضی غالبا میتوانیم بجای توابع دومتغیره پیچیده توابع سادهتری را درنظر بگیریم که با استفاده از آنها ، بدون اینکه لازم باشد کار زیادی انجام دهیم دقت مطلوب تأمین میشود. صورت خطی تابع
در
توسط مشتقات جزئی عبارت است از تابع:
که توسط آن تقریب
تقریب خطی
در نزدیکی
است. در موارد زیادی میتوانیم فرمول
را بجای فرمول
بکار ببریم. هنگام استفاده از فرمول
طبق معمول فرض میکنیم که در همسایگی
، f و مشتقات جزئی مرتبه اول آنها پیوسته باشد.
برآورد نمر
فرض کنید
و مشتقات جزئی مرتبه اول آن پیوسته باشند و
به اندازه مقادیر کو.چک
تغییر کنند. آنگاه
دیفرانسیل df که با معادله زیر تعریف میشود تقریب خوبی از تغییر حاصل در
است:
ضرایب لاگرانژ
گاه مجبوریم مقادیر ماکسیمم و مینیمم توابعی را بیابیم که دامنههایشان درون زیرمجموعه خاصی از صفحه- نظیر یک قرص یا یک ناحیه مثلثی- قرار دارند. برای یافتن مقادیر اکسترمم چنین توابعی روش نیرومندی بنام
ضرایب لاگرانژ توسط مشتقات جزئی ما را قادر به انجام چنین کاری میکند. به بیان کلی ، این روش حاکی است که مقادیر اکسترمم تابعی چون
که متغیرهایش قیدی بصورت
دارند، در نقاطی از رویه
بدست میآیند. که در آن نقاط به ازای عددی چون لاندا λ (موسوم به ضرایب لاگرانژ) داشته باشیم:
مباحث مرتبط با عنوان
