مکانیک آماری (
Statistical mecanics)
نگاه اجمالی
در مکانیک آماری با سیستمهای بزرگ سر و کار داریم. یعنی سیستمهایی که در آنها تعداد ذرات زیاد است (N ≈ 10
23). در چنین سیستمهایی به دنبال یافتن پاسخ صریح به سوالات زیر هستیم:
- سطوح انرژی قابل دسترس کدامند؟
- چگونه ذرات خود را در این سطوح توزیع می‌کنند؟
- اگر شرایط سیستم عوض شود (مثلا با تغییر دما) توزیع ذرات چگونه تغییر می‌کند؟
- با معلوم بودن تابع توزیع چگونه می‌توان کمیتهای تعریف کننده خواص گرمایی سیستم (مانند ظرفیت گرمایی) را بدست آورد؟
گر چه
سیستمهای ماکروسکوپی (بزرگ) را مطالعه می‌کنیم، اما رفتار ذرات را بطور جداگانه بررسی می‌کنیم. یعنی دیدگاه
میکروسکوپی بکار می‌بریم. در چنین برخوردی می‌دانیم که تعیین دقیق تاریخچه ذرات کاملا مشخص نیست. از اطلاعات قبلی می‌توان گفت که یک ذره تحت تأثیر نیروی معینی قرار می‌گیرد.
روشهای مطالعه سیستمهای چند ذره‌ای
در مورد دو ذره ، برهمکنش تعریف شده‌ای بین آنها برقرار است که می‌تواند هم بطور کلاسیک و هم به صورت کوانتومی مطالعه شود. برای یک سیستم سه ذره‌ای مطالعه دقیق ممکن نیست، زیرا تأثیر حضور ذره سوم در دو ذره دیگر به دقت قابل تعیین می‌باشد. با این صحبت به نظر می‌رسد که برای سیستمهای ماکروسکوپی ، ما با یک مشکل اساسی روبرو هستیم. عمدتا در مطالعه سیستمهای چند ذره‌ای دو روش مطرح می‌شود که عبارتند از:
دیدگاه مکانیک آماری
دیدگاه مکانیک آماری میکروسکوپی است. بدین معنی که در این دیدگاه تا حد امکان جزئیات ساختاری سیستمها منظور می‌شود. لذا به علت زیاد بودن تعداد ذرات صحبت به زبان
احتمال خواهد بود. مثلا احتمال یافتن ذره در یک سطح انرژی یا
تراز انرژی. بطور اصولی می‌توان ذرات را بطور جداگانه انتخاب نموده و صور مختلف آرایشهای آنها را در نظر گرفت. اما چون احتمال مربوط به اشکال مختلف آرایشها اختلاف چندانی ندارند، پس متوسط گیری در این مقوله زیاد بد نمی‌باشد.
ارتباط مکانیک آماری با ترمودینامیک
ترمودینامیک یک تئوری کلاسیک و قدیمی است. (
علم حرکت و
گرما Heat and motion). در این علم که دارای دیدگاه ماکروسکوپی است، کلیه سیستمها بدون توجه به
ساختار اتمی و با انتصاب کمیات قابل اندازه گیری مثل حجم ،
فشار ،
آنتالپی ،
انرژی داخلی ،
دما و
آنتروپی مطالعه می‌شود. ترمودینامیک مبتنی بر سه قانون بسیار مهم و البته تجربی است که به
قوانین ترمودینامیک معروف هستند و در ترمودینامیک مورد بحث قرار می گیرند.
این علم قادر است روابط بی‌شماری بین کمیات مختلف مثل حجم و تعداد ذرات سیستم (V,N) یا کمیات مکانیکی مانند فشار و
انرژی داخلی (U,P) و یا کمیات گرمایی مانند
آنتروپی و دما (S,T) برقرار کند. به علاوه این علم قادر است ارتباط بین خواص مشخصه سیستمها ، مثل
گرمای ویژه ،
تراکم پذیری و
تحرک الکترونها را ایجاد نماید. اما این درس نمی‌تواند مقادیر مطلق کمیات مذکور را تعیین کند و این وظیفه مکانیک آماری است که ، علاوه بر رفع این نقص و تأیید مجدد قوانین ترمودینامیکی ، می‌تواند دما را به انرژی ذرات اتصال دهد،
تئوری جنبشی گازها Kinetic Theory of Gasses) و آنتروپی را در یک طریق بخصوصی به بی‌نظمی اتصال دهد. (
معادله معروف بولتزمن)
چرا ترمودینامیک به مکانیک آماری منجر می‌شود؟
ترمودینامیک یک درس کلاسیک است و در موارد زیرین نقض می‌شود:
- در دماهای پایین: در این حالت خواص کلاسیکی سیستمها از بین رفته و پدیده‌های مشاهده شده ، کوانتومی هستند.
- چگالیهای بالا: به عنوان مثال می‌توان به ستارگان نوترونی اشاره کرد. در ستارگانی که جرم آنها اندکی بیشتر از جرم خورشید می‌باشد، ریزش ثقلی تولید جرمی با چگالیهای باور نکردنی می‌نماید. در چنین چگالیهایی ، هسته‌ها نیز می‌شکنند و به صورت مایع نوترونی در می‌آیند.
توابع توزیع اساسی در مکانیک آماری
در مکانیک آماری سه نوع تابع توزیع بر اساس تقسیم بندی ذرات مختلف وجود دارد، که عبارتند از:
- توزیع کلاسیک: اگر سیستمی تحت شرایط کلاسیکی باشد، در این صورت ذرات چنین سیستمی کلاسیک تلقی می شوند (ذرات کلاسیکی). این ذرات از تابع توزیع کلاسیک پیروی می‌کنند. اگر یک سیستم ماکروسکوپی با تعداد ذرات N و حجم V در نظر بگیریم، بطوری که سیستم در تعادل گرمایی باشد، به عبارت دیگر فرض کنیم که بین ذرات برهمکنش ضعیفی وجود دارد که قابل صرفنظر کردن است. با این مفروضات تابع توزیع (f(E که بیانگر تعداد ذرات با انرژی معین E از بین N ذره می‌باشد، به صورت زیر حاصل می‌گردد:
f (E) = e -(e-μ)/KT
گونه توزیع ذرات به توزیع کلاسیکی یا
توزیع ماکسول_بولتزمن معروف است. در عبارت فوق E بیانگر انرژی ذرات ، T دما ، K
ثابت بولتزمن و N
پتانسیل شیمیایی است که برابر با تعداد انرژی ذخیره شده در سیستم در اثر تغییر تعداد ذرات می‌باشد.
- توزیع فرمی-دیراک: گروه دیگری از ذرات ، فرمیونها هستند. از مشخصه‌های این ذرات می‌توان به داشتن عدد اسپینی نیم فرد (مضرب فرد 1/2) و تابع موج نامتقارن اشاره کرد. این ذرات از اصل پائولی پیروی می‌کنند. یعنی در هر حالت کوانتومی بیشتر از یک ذره نمی‌تواند وجود داشته باشد. به عنوان مثال الکترون در زمره ذرات فرمیونی قرار دارد. تابع توزیع حاکم بر این ذرات ، تابع توزیع فرمی-دیراک می‌باشد. به عبارت دیگر ، اگر سیستمی از این ذرات با برهمکنش ضعیف در نظر بگیریم، در این صورت تابع توزیعی که بر اساس آن می‌توان تعداد ذرات با انرژی معین E را در میان N ذره سیستم تعیین کرد، به صورت زیر ارائه می‌گردد:
f (E) = e -(e-μ)/KT + 1
- توزیع بوز-انیشتن: گروه سوم و آخرین گروه از ذرات ، ذرات بوزونی هستند. این ذرات دارای عدد اسپین صفر یا صحیح بوده و تابع موج متقارن دارند. ذرات بوزونی برخلاف فرمیونها از اصل پائولی پیروی نمی‌کنند. به عنوان مثال فوتون یک ذره بوزونی است. تابعی که توزیع ذرات بوزونی از آن تبعیت می‌کند، تابع توزیع بوز-انیشتن می‌باشد. به بیان دیگر ، یک سیستم متشکل از ذرات بوزونی با برهمکنش ضعیف در نظر می‌گیریم. حال اگر بخواهیم تعداد ذراتی را که از بین N ذره بوزنی موجود در این سیستم دارای انرژی معین E هستند، پیدا کنیم، باید از رابطه زیر استفاده کنیم:
f (E) = e -(e-μ)/KT - 1
سخن آخر
بطور خلاصه مطالعه یک
سیستم بر اساس مکانیک آماری را می‌توان به این صورت بیان نمود که ابتدا کمیتی به نام
چگالی حالت در مورد سیستم مورد نظر معرفی می‌گردد که بیانگر تعداد حالتهای کوانتایی در واحد حجم سیستم مورد نظر می‌باشد. سپس تابع توزیع مربوطه را با توجه به نوع ذرات سیستم محاسبه می‌کنند و با استفاده از این تابع وضعیت سیستم در حالتهای مختلف مورد بحث قرار می‌گیرد و مشخصات ذرات سیستم مانند
ظرفیت گرمایی ذرات ، به صورت کمی و کیفی محاسبه می‌شود. در مرحله آخر با معرفی توابع توزیع کانونیکی و با استفاده از روابط ر
