در این بخش می‌خواهیم مختصات خاصی را معرفی كنیم كه در اصل مختصات مكانی نیست، بلكه برای بردارهای سرعت و شتاب قابل استفاده است. یعنی آنكه در این مختصات مكان نقاط در فضا را با مختصه‌ها تعیین نمی‌كنند. در اصل اصلاً مختصات نیست بلكه صرفاً بردارهای یكه‌ای هستند كه از روی منحنی حركت ذره در صفحه تعریف می‌شوند.

مطابق شكل منحنی دلخواهی را در نظر بگیریم.

قطعاً اگر منحنی هموار باشد در هر نقطه‌اش مماس خواهد داشت. بردار یكه را بگونه‌ای تعریف می‌كنیم كه راستایش موازی با مماس باشد و سویش به سمت جهت حركت ذره روی این منحنی. در اصل این بردار یكه همان بردار یكه سرعت ذره است. بنابراین كه اندازه سرعت ذره است. امّا این اندازه چقدر است؟

این اندازه برابر با مقدار جابجایی كوچك روی منحنی بر مدت زمان عبور از این جابجایی است.

پارامتری است كه روی منحنی نشان‌دهنده طول منحنی از نقطه‌ای بعنوان مبدأ است. طبیعی است كه بردار مكان تمام نقاط منحنی را می‌توان تابعی از دانست یعنی

یعنی برداری است كه از مشتق بردار مكان نسبت به پارامتر طول روی منحنی بدست می‌آید. از دیگر مفاهیم بدرد بخور در این شیوه، شعاع انحنای یك منحنی است.

فرض كنید بر اثر جابجایی از به بردار یكه مماس از به تغییر یابد. چون اندازه ثابت است این تغییر صرفاً در جهت است. چنانچه مقدار این تغییر برحسب زاویه باشد آنگاه شعاع انحنای منحنی را به صورت:

تعریف می‌كنند. در اصل این شعاع نشان دهنده فاصله مركز انحنای منحنی در آن نقطه خاص است. ما در مختصاتهای دو بعدی همواره دو بردار یكه داشته‌ایم، حال می‌ماند تعریف بردار یكه دوم.

وقتی تعریف شود، راستای عمود بر آن نیز تعریف پس راستای بردار یكه دوم عمود بر (و‌منحنی) است. می‌ماند قرارداد سوی آن. سوی آن را به آن سمت تعریف می‌كنیم كه برحسب پیش رفتن روی منحنی به آن سمت می‌گردد یعنی سوی آن همان سوی تقعر منحنی است.

می‌توان گفت كه

هر برداری را نسبت به هر نقطه منحنی می‌توان به صورت

بیان نمود. خود بردار می‌شود:

كه زاویه با است. (جهت مثلثاتی مثبت است)

حالتی است كه با جلو رفتن منفی‌تر می‌شود (تقعر رو به پایین) و حالتی است كه با جلو رفتن مثبت‌تر می‌شود (تقعر رو به بالا).

یعنی:

گفتیم كه بردار سرعت

ببینیم شتاب چه خواهد شد:

امّا

دو جمله در شتاب موجود است كه شتاب مماسی است و كه شتاب عمود است و مشابه جمله در شتاب مركزگراست. در اصل جهت را بگونه‌ای تعریف كرده‌ایم كه با این شتاب موازی باشد. در حالتی كه صرفاً شتاب عمودی را داریم. یعنی آنكه وقتی ذره با مقدار سرعت ثابت منحنی را طی می‌كند صرفاً شتاب به آن وارد می‌شود. در مورد دایره است و كه همان روابط حركت دایروی سرعت ثابت را خواهد داد. در حالتی كه ثابت است مسئله یك مسئله تك بعدی است كه دیگر معنایی ندارد. در این حالت شتاب همان خواهد بود و همانند برای یك حركت تك بعدی می‌ماند.

متحركی بر روی منحنی با سرعت ثابت حركت می‌كند. شتاب آن چقدر است در حالتی كه بیشترین شتاب را دارد؟

می‌بایست ابتدا شعاع انحنای نقاط مختلف را بدست بیاوریم تا محاسبه شتاب ساده گردد.

برای حالتی كه باشد:

برای حالتی كه شتاب بیشینه است می‌باید كمینه باشد.

این حالتی است كه است یعنی در این حالتها است و شتاب بیشینه

مقدار ماكزیمم بینهایت است كه برای حالتهای یا اتفاق می‌افتد در این حالتها است و كمترین مقدار خود را دارد.

این مسئله را بگونه دیگری نیز می‌شود بررسی كرد.

امّا خود را چگونه بدست بیاوریم؟ كافی است كه از قیود قبلی استفاده كنیم.

كه همانند همان رابطه است كه همانطور كه نشان داده بودیم بود.

مسئله كلی‌تر حالتی است كه ذره با سرعت ثابت روی منحنیحركت كند.

در این حالت:

این روابط در اصل از روی شكل بطور بدیهی درستند.

در مورد شتابها خواهیم داشت:

با حل این دو معادله خواهیم داشت:

می‌ماند جایگذاری و در معادلات فوق:

می‌بینید كه نسبت

این در حالی است كه نسبت

و این نشان از تعامد راستاهای دارد كه از ثابت بودن اندازه از ابتدا پیدا بود.

می‌توان مختصاتی برای حالت سه بعدی طراحی كرد كه در آن یك منحنی سه بعدی مرجع تعیین بردارهای یكه باشند. در آن حالت باز را همان تعریف می‌‌كنیم یعنی و كافی است بقیه تعاریف را بطور مشابه انجام دهیم. بعلت پیچیدگی محاسبات و … از بیان دلایل روابط زیر خودداری می‌كنیم و صرفاً به بیان آنها می‌پردازیم:

بردارهای راستگرد دستگاه منحنی است.

كه (Torsion): تاب منحنی تعریف می‌شود