قواعد مشتق گیری
در بخش قبلی مشتق توابع پركاربردی همچون
،
،
و
را گرفتیم، كافی است قواعدی برای ترتیب توابع و عملیاتهای روی توابع ارائه دهیم تا مجموعه زیادی از توابع را بتوانید مشتق بگیرید.
قواعد زیر به سادگی قابل تحقیق هستند:
مثال
مشتق زمانی
برحسب قواعد فوق بدست آورید.
حل.
-------------------------
-------------------------كه همان نتیجه بخش قبل است.
بیایید مشتق حاصل‌ضرب دو تابع را برحسب مشتقات خودشان بیان كنیم. شاید ابتدا به نظرتان برسد كه مشتق
برابر
باشد ولی این طور نیست.
-----------------
-----------------
-----------------بیایید مشتق معكوس یك تابع را حساب كنیم. (منظور از معكوس
است نه
)
حال با استفاده از دو قاعده فوق مشتق
قابل حساب كردن است.
-------------
مثال
مشتق 
را بیابید.
حل.
مثال
مشتق
را بیابید.
حل.
ابتدا باید بدانیم كه مشتق
چه تابعی می‌شود. قابل اثبات است كه مشتق تابع
كه
است برابر است با
. ما این رابطه را برای حالت
كه
بود اثبات كردیم ولی می‌شود برای
هم اثبات كرد كه كار سختی است و خارج از حوصله مباحث مورد نظر ما می‌باشد.
حال خواهیم داشت:
از مهمترین قواعد مشتق‌گیری، قاعده مشتق تابع مركب است یعنی مشتق
كه به آن قاعده زنجیره‌ای (Chain rule) می‌گویند.
قبل از آنكه این قاعده را بیان كنیم بهتر است كمی در مورد نمادهای دیگر معادل با مشتق‌گیری در ریاضیات صحبت كنیم.
گاهی مشتق را با
نمایش می‌دهند یعنی
گاهی با نماد
یعنی
بیایید در مورد معنی نماد دوم صحبت كنیم. فرض كنید بخواهیم مشتق
را در
حساب كنیم آنگاه چه خواهیم كرد تغییرات
را برحسب تغییرات
بدست آورده حاصل را بر هم تقسیم می‌كنیم آنگاه حد
های كوچك را می‌گیریم یعنی:
(
همان
می‌شود)
یك قرارداد آنست كه چیزی به نام دیفرانسیل (Differential)
تعریف كنیم كه به صورت زیر باشد:
از آنجا كه وقتی
خیلی كوچك است
هم خیلی كوچك است.
در اینجا می‌توان
را هم
در نظر گرفت و در این صورت طبیعی خواهد بود كه
.
حال برویم سراغ قاعده زنجیره‌ای.
این واقعاً اثبات قاعده زنجیره‌ای نیست بلكه صرفاً نشان می‌دهد قاعده زنجیره‌ای به چه معناست. برای آنكه مشتق
را بگیریم كافی است در مشتق
مقدار
را قرار دهیم و سپس حاصل را در مشتق
در نقطه مورد نظر ضرب كنیم.
مثال
مشتق
چه می‌شود؟
حل.
(قاعده زنجیره‌ای)
تقریباً آنچه كه از قواعد گفتیم تمام آن چیزهایی بود كه برای محاسبات خود لازم دارید. كافی است كه تمرین كنید و علی‌الخصوص از قاعده پركاربرد زنجیره‌ای استفاده كنید تا مشتق‌گیری برایتان چیزی مشابه ضرب و تقسیم شود.
فرض كنید چند تابع داریم كه همه مثلاً تابع
هستند و بین آنها رابطه خاصی برقرار است.
مثلاً
آیا با داشتن این اطلاع می‌توان چیزی در مورد رابطه‌ای بین مشتقاتشان برقرار كرد؟
طبیعی است وقتی رابطه فوق برقرار باشد رابطه
هم برقرار است پس عملاً صرفاً با یك تقسیم بر
همان رابطه باید برای مشتقات هم برقرار باشد:
همینطور می‌توان باز از این معادله مشتق گرفت و برای مراتب بالاتر هم رابطه‌ای بدست آورد.
مثال
مشتق
چه می‌شود؟
حل.
می‌بینید كه
است و این نشان از آن است كه هر چه در تابع جلو برویم مقدار تابع كُندتر افزایش می‌یابد تا اینكه در بینهایت دیگر تغییری نمی‌یابد. گر چه در بینهایت مقدارش نیز بینهایت است.
بطور معكوس
بسیار سریع‌الرشد است.
از هر
سریع‌الرشدتر است. این به چه معناست؟ به این معناست كه
همچنین
از هر
كُندتر است یعنی:
امّا چنین حدودی را چگونه می‌توان محاسبه كرد حال كه مشتق‌گیری را یاد گرفته‌ایم می‌توانیم با قاعده‌ای موسوم به قاعده هوپیتال(l'Hopital) این نوع حدها را محاسبه كنیم.
این قاعده می‌گوید اگر
، صفر شود آنگاه:
همچنین اگر
،
شود، آنگاه:
مثال
حدود
را با قاعده هوپیتال حساب كنید.
حل.
در مورد
كافی است از صورت و مخرج
بار مشتق بگیریم آنگاه:
در مورد
خواهیم داشت:
پیوند های خارجی
http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0036.pdf
را با قاعده زنجیره‌ای و بدون آن حساب كنید.
را بگیرید.
را بگیرید.
برابر معكوس مشتق خود تابع در نقطه 
است.
برای 
خواهد شد
.
كه 
است
زیرا هر 
خواهد بود.
