تعداد کل خطوط نیرویی که بطور عمود از یک سطح بسته نامعینی (که در داخل آن بار الکتریکی یا توزیع باری وجود دارد که می‌‌خواهیم میدان حاصل از آن را محاسبه کنیم)، خارج می‌‌شود، معادل بار خالصی است که در داخل آن سطح بسته قرار دارد. در این رابطه ε کمیتی است که ثابت گذردهی الکتریکی محیط نام دارد.

اطلاعات اولیه

محاسبه میدان الکتریکی حاصل از یک توزیع بار در نقاط مختلف با استفاده از قانون کولن صورت می‌‌گیرد، ولی این روش با وجود اینکه همیشه کاربرد دارد و روش سرراستی است، اما جز در حالتهای ساده ، روش پرزحمتی است. هرچند با بهره گیری از کامپیوتر و با استفاده از قانون کولن ، مسئله هر قدر هم که پیچیده باشد، قابل حل است، ولی در موارد خاص می‌‌توان از روشهای ساده‌تری که نسبت به قانون کولن از پیچیدگی کمتری برخوردارند، استفاده نمود. یکی از این روشها قانون گاوس می‌‌باشد. قانون گاوس در مواردی که مسئله دارای تقارن است، مورد استفاده قرار می‌‌گیرد. سودمندی فرمول‌بندی قانون گاوس در آن است که علاوه بر ساده کردن عملیات حل مسائل ، به ما بینش نیز می‌‌دهد.

شار الکتریکی

شار از واژه لاتین «Fluere» به معنی جاری شدن گرفته شده است. برای پی بردن به مفهوم شار الکتریکی ، سطح بسته‌ای حول بار الکتریکی q فرض می‌‌کنیم. می‌‌دانیم که اگر این بار مثبت باشد، خطوط میدان الکتریکی از سطح بسته خارج می‌‌شوند و اگر بار منفی باشد، جهت خطوط از بیرون به داخل سطح بسته فرضی خواهد بود. تعداد خطوط نیرو که در واحد سطح ، به درون سطح بسته فرضی وارد یا از آن خارج می‌‌شوند، به عنوان چگالی شار الکتریکی تعریف می‌‌شود. با در دست داشتن چگالی شار ، خود شار به راحتی تعیین می‌‌شود. به بیان دیگر ، تعداد خطوط میدان الکتریکی که از یک سطح محدود می‌‌گذرد، شار الکتریکی نامیده می‌‌شود.

رابطه شار با میدان الکتریکی

اگر در ناحیه‌ای که یک میدان الکتریکی با شدت E برقرار است، سطحی فرضی مانند S در نظر بگیریم، شار الکتریکی به صورت انتگرال سطحی میدان الکتریکی تعریف می‌‌شود و به صورت زیر نمایش داده می‌‌شود:



در این رابطه ds المان سطح (سطح مورد نظر را به عناصر بینهایت کوچک با مساحت ds تقسیم می‌‌کنند) ، E میدان الکتریکی و Ф_E شار میدان الکتریکی است.

رابطه ریاضی قانون گاوس

فرض کنید یک بار الکتریکی به اندازه q در مبدا مختصات قرار دارد. اگر با استفاده از قانون کولن بخواهیم میدان الکتریکی حاصل از این بار را در نقطه‌ای به فاصله r محاسبه کنیم، به صورت خواهد بود. حال اگر یک سطح بسته را طوری فرض کنیم که بار نقطه‌ای را کاملا در بر گرفته باشد، در این صورت اگر انتگرال سطحی مولفه عمودی میدان الکتریکی بر روی این سطح بسته را حساب کنیم، خواهیم داشت:



در رابطه فوق \hat n ، بردار یکه عمود بر سطح است که همواره جهت آن به طرف خارج است و da عنصر المان سطح می‌‌باشد. حال اگر با استفاده از مفهوم زاویه فضایی طرف دوم این رابطه را اندکی دستکاری کنیم، در نهایت به رابطه زیر می‌‌رسیم:



رابطه فوق تحت عنوان قانون گاوس معروف است.

مقایسه قانون کولن و قانون گاوس

قانون کولن را می‌‌توان با استفاده از قانون گاوس و با لحاظ کردن نقاط مربوط به تقارن بدست آورد. قانون گاوس هرچند در مورد هر سطحی صادق است، ولی نتیجه مربوط به سطح کروی به شعاع r که بار در مرکز آن قرار گرفته است، ساده‌تر بدست می‌‌آید. برتری این سطح در آن است که به دلیل تقارن ، E باید بر سطح عمود باشد و بزرگی آن برای تمام نقاط واقع بر سطح یکسان باشد.

قانون گاوس یکی از معادلات بنیادی الکترومغناطیس است و به عنوان یکی از معادلات ماکسول ارائه می‌‌شود. در صورتی که در جدول معادلات ماکسول خبری از قانون کولن نیست، اما می‌‌توان قانون کولن را از قانون گاوس بدست آورد. قانون گاوس نه تنها حل بسیاری از مسائل الکتروستاتیک را آسان می‌‌کند، مهمتر از آن در مورد بارهای الکتریکی متحرک که قانون کولن در مورد آنها صادق نیست، به نتایج درستی منجر می‌‌شود.

چند نمونه از کاربردهای قانون گاوس

توزیع بار با تقارن کروی

کره‌ای را در نظر بگیرید که بار الکتریکی با چگالی حجمی ‌ρ در آن توزیع شده است و ما می‌‌خواهیم میدان الکتریکی حاصل از این توزیع بار را در فاصله شعاعی بزرگتر از شعاع کره و نیز در داخل کره محاسبه کنیم. برای محاسبه میدان در فاصله r بزرگتر از شعاع کره (R) ، یک سطح کروی به شعاع r حول کره باردار در نظر می‌‌گیریم. اگر قانون گاوس را برای این کره فرضی اعمال کنیم، میدان الکتریکی به راحتی محاسبه می‌‌شود. نکته قابل توجه این است که برای محاسبه میدان در فاصله شعاعی r ^' که کوچکتر از شعاع کره است، باید توجه داشته باشیم که در قانون گاوس چگالی مربوط به بار داخل این کره فرضی را قرار دهیم، نه چگالی بار کل کره را. اگر می‌‌خواستیم در این مورد از قانون کولن استفاده کنیم، به محاسبات پیچیده ریاضی نیاز پیدا می‌کردیم.

میدان الکتریکی خط بار

یک خط بار نامتناهی با چگالی خطی بار λ را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم میدان حاصل از این خط بار را در فاصله عمودی y از این خط بار محاسبه کنیم، یک استوانه با شعاع y و به طول بینهایت در نظر می‌‌گیریم، بطوری که خط بار مفروض بر محور استوانه منطبق شود. حال با حل یک انتگرال ساده ، میدان الکتریکی به راحتی محاسبه می‌‌گردد.

بنابراین با توجه به دو مورد فوق ملاحظه می‌‌گردد که استفاده از قانون گاوس چقدر به حل مسائل کمک می‌‌کند. در صورتی که در کلیه این موارد استفاده از قانون کولن کار بسیار پرزحمتی است. نکته قابل توجه این است که انتخاب چارچوب مرجع در تمام این موارد بسیار مهم است. به عنوان مثال ، بهتر است برای محاسبه میدان کره باردار از سیستم مختصات کروی استفاده کنیم، همانطوری که در مورد خط بار استفاده از سیستم مختصات استوانه‌ای کار بهتری است.

مباحث مرتبط با عنوان

• بار الکتریکی
• توزیع بار
• ثابت گذردهی الکتریکی محیط
• خطوط نیرو
• سیستم مختصات استوانه‌ای
• سیستم مختصات کروی
• شار الکتریکی
• قانون کولن
• قانون گاوس در مغناطیس
• معادلات ماکسول
• میدان الکتریکی