دید کلی
آغاز دوره امروزی ، در پیشرفت
ریاضیات ، بوسیله دگرگونی‌های عمیقی که در هم رشته‌های اساسی آن:
جبر ،
هندسه و
آنالیز پدید آمد، مشخص می‌شود. این دگرگونی در هندسه با روشنی بیشتری به چشم می‌خورد. در سال 1826 ،
لباچوسکی و کم و بیش همزمان با او
یانوش بایای (این همان کسی است که فرانسوی‌ها او را
ژان بولیه می‌نامند. مترجم.) ریاضی‌دان مجارستانی ، هندسه تازه نااقلیدسی را به وجود آوردند و تکامل دادند. ریاضی‌دانها خیلی زود اندیشه لباچوسکی را نفهمیدند. این اندیشه خیلی جسورانه و غیرقابل انتظار بود. ولی بویژه ، از همین زمان بود که پیشرفت تازه هندسه آغاز و مفهوم آن معرفی شد و موضوع و زمینه کاربرد آن به سرعت گسترش یافت. اساسی‌ترین گامی که بعد از لباچوسکی در این جهت برداشته شد، در سال 1845 و بوسیله ریاضی‌دان مشهور آلمانمی
ریمان بود. ریمان اندیشه نامحدود بودن تعداد "فضاهایی" را که می‌تواند مورد بررسی هندسه قرار گیرد، منظم ، و به امکان حقیقی بودن مفهوم آنها ، اشاره کرد.
ویژگیهای پیشرفت تازه هندسه
نخست
اگرهندسه پیش از آن تنها شکل‌های فضایی و رابطه‌های جهان مادی را (تنها به همان اندازه که در چارچوب هندسه اقلیدسی بازتاب می‌شد) بررسی می‌کرد، اکنون موضوع بررسی آن ، گونه‌های دیگر شکل‌ها و رابطه‌های دنیای واقع است. رابطه‌هایی که تنها شباهتی با رابطه‌های فضایی دارد و به همین علت هم می‌توان برای بررسی آنها از روش هندسی استفاده کرد. به این ترتیب ، اصطلاح "فضا" در ریاضیات مفهوم تازه گسترد‌ه‌تر و در عین حال خاص‌تری پیدا کرد. در عین حال ، خود روش‌های هندسی هم به مراتب غنی‌تر و همه جانبه‌تر شد. این روش‌ها ، به نوبه خود وسیله کامل‌تری برای شناخت فضای فیزیکی که ما را دربرگرفته است بدست می‌دهد، همان فضایی که هندسه مقدماتی از آن منتزع شده بود.
دوم
حتی در
هندسه اقلیدسی هم دگرگونی‌های مهمی پیدا شد که امکان بررسی ویژگیهای شکل‌های کاملا پیچیده را (تا بررسی مجموعه دلخواه نقطه‌ها) ، بوجود آورد. همچنین برای بررسی ویژگیهای شکل‌ها ، روش تازه‌ای پیدا شد: ویژگیهای جداگانه را منتزع می‌کنند و جدا از سایر ویژگی‌ها مورد بررسی قرار می‌دهند، و نیز این انتزاع در داخل هندسه هم رشته‌های خاصی بوجود می‌آورد که خودشان "هندسه‌های" مستقلی را تشکیل می‌دهند. پیشرفت هندسه در تمام این جهت‌ها ادامه دارد و موضوع آن بررسی "فضاهای" تازه و تازه‌تر و "هندسه‌های" مربوط به آنهاست: فضای لباچوسکی ، فضای تصویری ، فضای اقلیدسی و نااقلیدسی با بعدهای مختلف و برای نمونه فضای چهاربعدی ، فضای ریمانی ، فضای فینسلروفی ، فضاهای توپولوژی و غیره. این نظریه‌ها کاربرد فراوان هم در ریاضیات (علاوه بر هندسه) و هم در فیزیک و مکانیک پیدا کردند، و نیز کاربردی جدی در نظریه نسبیت ، یعنی نظریه فیزیک امروزی درباره فضا ، زمان و جاذبه پیدا کرده‌اند.
جبر امرزی
در جبر هم ، دگرگونی کیفی به وجود آمد: در نیمه اول سده نوزدهم ، نظریه‌های تازه‌ای طرح و منجر به تغییر جبر و گسترش موضوع و میدان کاربرد آن شد. جبر در پایه نخستین خود عبارت بود از دانش عمل‌های حساب درباره عددها ، ولی بصورت کلی و جدا از عددهای مشخص و مفروض. جبر امروزی ، این پایه را نگه داشته و آن را بی‌اندازه گسترش داده است. در جبر امروزی ، "کمیتها" را با طبیعتی که خیلی کلی‌تر از طبیعت عددها است، بررسی می‌کنند. همچنین عمل‌هایی که روی این "کمیتها" انجام می‌شود، کم و بیش شبیه به ویژگیهای ظاهری عمل‌های معمولی حساب یعنی جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم است. ساده‌ترین نمونه این کمیتها ، کمیتهای برداری است. اما تعمیمی که در جبر امروزی صورت گرفته تا آنجا پیش رفته است که خود اصطلاح "کمیت"
هم مفهوم خود را از دست داده است و بطور کلی درباره "چیزها" صحبت می‌شود و عمل‌هایی هم شبیه به عمل‌های جبر معمولی ، روی آنها انجام می‌گیرد. در نیمه اول سده نوزدهم و در نتیجه بررسی‌های یک عده از ریاضی‌دانها مطرح شد که از میان آنها بویژه باید از
گالوا ، ریاضی‌دان فرانسوی (1811-1832) ، نام برد. مفهوم‌های جبر امروزی و روش‌ها و نتیجه‌های آن در آنالیز ، هندسه ، فیزیک ، بلورشناسی و غیره ، کاربرد اساسی پیدا کرده است، بویژه
ا.س.فدورف دانش تقارن بلورها را با تکیه بر ارتباط هندسه و یکی از نظریه‌های تازه جبر به نام نظریه گروهها بوجود آورد و تکامل داد.
آنالیز امروزی
آنالیز هم با تمام رشته‌هایش دگرگون شد. نخست همان طور که گفته شد اساس آنالیز دقیق‌تر شد و بویژه مفهوم‌های اساسی آن:
تابع ،
حد ،
انتگرال ، و سرانجام مفهوم
کمیت متغیر به شکل دقیق و عمیقی تعریف شد. دقیق کردن اصل‌های آنالیز از کارهای
بولتسانو ریاضی‌دان چک (1781-1848) و
کوشی ریاضی‌دان فرانسوی (1789-1857) و عده دیگری از ریاضی‌دانها سرچشمه می‌گیرد. این دقیق کردن، مربوط به همان دوره‌ای است که پیشرفت تازه جبر و هندسه هم در آن انجام گرفت و در سالهای 80 سده نوزدهم بوسیله ریاضی‌دانهای آلمانی
وایرشتراس ، "
کیند و کانتور" اندازه‌ای به پایان رسید. دقیق کردن مفهوم‌های تابع و متغیر ، همراه با
نظریه مجموعه‌ها ، زمینه را برای پیشرفت بعدی آنالیز فراهم کرد: راه بررسی تابعهای کلی‌تر هموار شد و دستگاه آنالیز ، یعنی
حساب دیفرانسیل و انتگرال هم ، در همین جهت تعمیم پیدا کرد. به این ترتیب ، در آستانه سده ما ، فصل تازه‌ای به نام نظریه تابعهای با متغیر حقیقی در آنالیز بوجود آمد. پیشرفت این نظریه ، بیش از همه مدیون ریاضی‌دانهای فرانسه
بورل ،
له بگ و دیگران و پس از آن بویژه مدیون
ن.ن.لوزینا (1883-1950) و مکتب او می‌باشد. فصل‌های تازه آنالیز را در مجموع "
آنالیز امروزی" و فصل‌های پیشین را "
آنالیز کلاسیک" نام گذاشته‌اند.
نظریه‌های تازه آنالیز
در آنالیز نظریه‌های تازه دیگری هم بوجود آمد: برای نمونه ، نظریه تقریب تابعها ، که خود رشته ویژه‌ای است و مساله‌های مربوط به مهمترین نمایش تقریبی تابعهای عمومی را بوسیله تابعهای مختلف "ساده" و در مرحله نخست بوسیله چند جمله‌ای‌ها ، یعنی تابع‌هایی بصورت:
بررسی می‌کند.
این نظریه بعدها پیشرفت کرد و به نظریه ترکیبی تابعها تبدیل شد و این پیشرفت هم بیش از همه مدیون کارهای ریاضی‌دانهای شوروی و بویژه
س.ن.برنشتین (متولد 1880) می‌باشد.
ویژگیهای ریاضیات امروزی
- بیش از هر چیز باید از گسترش بی‌اندازه موضوع ریاضیات و گسترش میدان کاربرد آن نام برد. یک چنین گسترش موضوع و میدان کاربرد ، به معنای آن است که ریاضیات بطور کمی و کیفی بسیار رشد کرده و نظریه‌ها و روش‌های نیرومند تازه‌ای بوجود آورده است که اجازه می‌دهد مساله‌هایی را که ناگشودنی بنظر می‌رسید، حل کنیم. گسترش موضوع ریاضیات ، پیش از همه ، از اینجا مشخص می‌شود که ریاضیات امروزی دانسته و با شعور کامل ، بررسی گونه‌های ممکن رابطه‌های کمی و شکل‌های فضایی را در مقابل خود قرار داده است.
- ویژگی دیگر ریاضیات امروزی این است که مفهوم‌های تازه عام و کلی ، که در سطح بالاتری از انتزاع قرار دارد، بوجود می‌آورد و بویژه ، همین خصلت آن است که یکپارچگی و یگانگی ریاضیات را ، با وجود رشته‌های گوناگونی که دارد، حفظ می‌کند.
- یکی از خط‌های مشخص کننده ریاضیات امروزی عبارت است از تجزیه و تحلیل عمیق‌تر بنیان‌های آن ، تجزیه و تحلیل مفهوم ساختمان نظریه‌های جداگانه آن و تجزیه و تحلیل خود روش‌های اثبات نتیجه‌گیری‌های ریاضیات ، بدون یک چنین تجزیه و تحلیلی ، خود نظریه‌ها و اصل‌های تعمیم‌دهنده ریاضیات ، نمی‌توانست تکمیل شود و به پیشرفت خود ادامه دهد.
- ویژگی اساسی و تعیین کننده ریاضیات امروزی را باید در این دانست که موضوع آن تنها رابطه‌های کمی داده شده نیست، بلکه هرگونه رابطه‌های کمی و شکل‌های ممکنه هم مورد بحث آن است. در هندسه ، تنها صحبت بر سر رابطه‌ها و شکل‌های فضایی ، بلکه بر سر هرگونه رابطه‌ها و شکل‌های ممکنی که تنها شبیه رابطه‌ها و شکل‌های فضایی هستند، نیز می‌باشد. در جبر گفتگو بر سر دستگاههای مختلف چیزهای مجرد ، و قانون‌هایی که می‌توان روی آنها اعمال کرد، می‌باشد. در آنالیز ، نه تنها کمیت ، بلکه خود تابع هم به عنوان متغیر بررسی می‌شود.
نتیجه
بنابراین ، بطور خلاصه می‌توان گفت که اگر
ریاضیات مقدماتی ،
ریاضیات کمیتهای ثابت و ریاضیات دوره بعد از آن
ریاضیات کمیتهای متغیر است، ریاضیات امروزی ، ریاضیات گونه‌های متفاوت رابطه‌های کمی متغیر و گونه‌های متفاوت ارتباط بین کمیتها است.
مباحث مرتبط با عنوان
