کار مداوم و باپیگیری
برای حل یک مساله ریاضی (اگر مضمونی تازه داشته باشد و در ردیف تمرین‌های ساده پایان درس نباشد) نمی‌توان روش یا روشهای کلی پیدا کرد. بنابراین، چاره‌ای جز این نداریم که با تکیه بر تجربه زندگی ، آگاهی علمی ، مقایسه و تجزیه و تحلیل راههای گوناگون و در هر حال ، به کارگرفتن اندیشه ، خود و استعداد خود ، مسیر بهینه را بیابیم. برای حل مساله‌های ریاضی هم باید از همین راه رفت و نباید منتظر "دستورها" و "نسخه‌های شفابخش" بود. چنین دستورها و نسخه‌هایی که بتوان به یاری آنها ، از عهده حل هر مساله برآمده وجود ندارند. با همه اینها ، می‌توان، از راهنماییهایی سود برد. بویژه ، برای کسانی که بطور دایم و مستمر با حل مساله سروکار دارند، این راهنمایی‌ها و توصیه‌ها می‌تواند سودمند باشد.
ضمن برخورد با یک مساله ، به نکته‌ای توجه داشته باشید: اگر با مساله‌ای جدی و ناآشنا روبرو هستید، منتظر موقعیت سریع نباشید، از میدان در نرود و خیلی زود ناامید نشوید. گاهی برای رسیدن به راه حل درست و منطقی ، لازم است مدتها روی یک مساله کار کنید؛ در آغاز حالنهای خاص و ساده را بررسی کنید، مساله‌های کم و بیش ساده را به یاد آورید و راهها و روشهای گوناگون را بکار بگیرید. در اینصورت ، اگر هم سرانجام نتوانید مساله را حل کنید، نگران نشوید. همین که مدتها روی یک مساله اندیشیده‌اید و از جانب‌های مختلف به آن حمله کرده‌اید، می‌تواند در رشد ذهن ریاضی شما تاثیری جدی داشته باشد. برای شما خیلی سودمندتر از آن است که حل دهها مساله را از روی کتابهای حل مساله ببینید و یا راه‌حل آنها را ، پیش از آن که توان خود را آزموده باشید، از دیگران بپرسید. برای اینکه در حل مساله‌های ریاضی کارآمد باشید، تا آنجا که ممکن است، عصاها و دستگیره‌هایی ، مثل کتابهای حل مساله و دبیر خصوصی را کنار بگذارید، تلاش کنید، روی پای خودتان بایستید و از ذهن و آگاهی‌های خودتان بهره ببرید. وقتی با عصا راه بروید و یا همیشه دستتان به "نرده" راهنما باشد، آن وقت با جداشدن از عصا و نرده ، به زمین می‌خورید.
کار گروهی
اندیشه آدمی و به ویژه اندیشه علمی ، دربرخورد اندیشه‌های دیگر ، شکل می‌گیرد و تکامل می‌یابد، اندیشه فردی ، هر قدر خلاق و مستعد باشد، اگر در انزوا قرار گیرد، بتدریج فرسوده می‌شود و توان خود را از دست می‌دهد. و یکی از راههای برخورد اندیشه‌ها ، کار گروهی است. متاسفانه دانش‌آموزان ، به خاطر رقابت ، از همکاری و همراهی با دیگران دوری می‌گزینند، یاری به دیگران را به زیان خود می‌بیند و ریشه تعاون اجتماعی را می‌خشکاند. آن که از نظر درسی جلوتر است، مغرور می‌شود. خود را تافته جدا بافته‌ای تصور می‌کنند و مستقیم یا غیرمستقیم ، همسالان خود با دیده حقارت می‌نگرد؛ و آن که در درسها ضعیف‌تر است، همه جا با بن بست مواجه می‌شود و نه تنها از طرف معلم و پدر و مادر ، که از جانب همسالان خود هم ، آزار روحی می‌بیند. بنابراین وجود روحیه همکاری و تعاون در بین دانش‌آموزان می‌تواند در پیشرفت درسی آنها موثر باشد. مثلا وجود تک نابغه‌هایی مثل
ابوریحان بیرونی ، برای تکان دادن دنیای خود و برای تندکردن حرکت دانش ، موثر بودند، گرچه حتی ابوریحان بیرونی هم برای کار گروهی و تبادل اندیشه‌های علمی ارزش قایل بود، او با ابن‌سینا مکاتبه داشت و ضمن نامه‌های خود ، در زمینه‌های گوناگون و بویژه
فلسفه بحث می‌کرد.
یک مساله و چند راه‌حل
یکی از شیوه‌های تقویت نیروی استدلال (و به احتمالی کارآمدترین آنها) تلاش برای پیداکردن راهحلهای مختلف یک مساله است. همیشه به این نکته مهم آموزشی توجه داشته باشیم که اگر تنها یک مساله را بطور کامل و در جهت‌های گوناگون ، برای خودمان تجزیه و تحلیل کنیم، بسیار سودمندتر است از این که با راهحلهای حاضر و آماده دهها مساله آشنا شویم. وقتی می‌خواهیم مساله‌ای را حل کنیم، بطور طبیعی راه‌حلی را انتخاب می‌کنیم که مناسبتر به نظرمان می‌رسد، یعنی راهی که کوتاه‌تر ، قابل فهم‌تر ، ساده‌تر و در یک کلام زیباتر است. بازهم طبیعی است، وقتی با مساله‌ای روبرو می‌شویم، اندیشه‌ای را دنبال کنیم که ، بلافاصله و در برخورد اول ، ذهنمان را فرا می‌گیرد و ولو بطور موقت ، سایر راهحلها را از نظرمان دور نگاه می‌دارد. ممکن است این حالت هم پیش آید که قبل از آغاز به حل ، روشهای گوناگونی ، و البته کم و بیش مبهم ، از ذهنتان بگذرد و برای انتخاب یکی از آنها دچار تردید شویم. ولی در هر حال ، تنها این هدف را دنبال می‌کنیم که مساله را حل کنیم و به جواب برسیم.
حقیقت این است که پیداکردن راه‌حل و جواب یک مساله ، بخشی (و بخش کوچکی) از هدف را تشکیل می‌دهد؛ هدف اصلی ، تسلط بر روشهای مختلف ریاضی و آزمودن آنها در بوته عمل است. برای حل مساله ، هیچ روشی را نباید از یاد برد. آزمودن روشهای مختلف ، درک و معرفت ما را نسبت به کارآیی و قدرت آنها بالا می‌برد و ما را آماده می‌کنند تا در برخورد با موقعیت‌ها و مساله‌های تازه ، دچار تردید و سرگردانی نشویم. به جز این ، استفاده از روشهای مختلف برای حل یک مساله ، موجب تسلط برآگاهی‌هایی می‌شود که زمانی فرا گرفته‌ایم. اگر آگاهی‌های ریاضی ، گاه گاه و به مناسبت کاربردی که در حل مساله دارند، تکرار نشوند بیم آن می‌رود، که از یاد بروند و تنها تصوری مبهم از آنها در ذهن باقی بماند. حل یک مساله با روشهای مختلف ، در ضمن معرف یکپارچگی ریاضیات است و ما را تابع می‌کند که مفهوم‌ها ، اصل‌ها و قضیه‌های ریاضی بهم پیوسته‌اند و نباید آنها را عنصرهایی مجرد و جدا از هم به حساب آورد. سرانجام و به احتمالی مهمتر از همه ، جستجوی راه حلهای مختلف ، امکانی سودمند و کارساز ، برای بالا بردن توانایی ما در حل مساله‌های ریاضی (و البته ، نه فقط ریاضی) است.
تجزیه و تحلیل مساله برای جستجوی راه‌حل
برای حل یک مساله ساختمانی
هندسه ، باید از چهار مرحله گذشت: تجزیه و تحلیل مساله ، رسم شکل ، اثبات و سرانجام بحث در وجود جواب و بررسی آن در حالت‌های مختلف. در ریاضیات که دانشی قیاسی است، می‌توان "پدیده کل" را حل کامل مساله و بخش‌های جداگانه آن ، نتیجه‌های خاص ناشی از آن دانست. بنابراین ، منظور ما از "تجزیه و تحلیل" ، این است که مساله را حل شده فرض می‌کنیم و به بررسی نتیجه‌های حاصل از آن می‌پردازیم.
بر اساس همین "تجزیه و تحلیل" سه مرحله از داوری است:
- فرض می‌کنیم مساله حل شده است.
- توجه می‌کنیم با این فرض ، چه نتیجه‌هایی می‌توان به دست آورد.
- و سرانجام با توجه به این نتیجه‌گیریها و با تلفیق مناسب آنها ، راه واقعی حل مساله را پیدا می‌کنیم.
نتیجه‌هایی که می‌توان از موقعیت هندسی یک شکل گرفت
تجربه نشان می‌دهد که بیشتر اشتباه‌ها ، ضمن حل مساله‌های هندسی فضایی در محاسبه مسطح و حجم چند وجهی‌ها ، ناشی از آن است که موقعیت شکل را بخوبی نمی‌شناسیم و برای پیداکردن رابطه‌های مربوط به این موقعیت ، در می‌مانیم. یکی از راههای از بین بردن این دشواری ، آن است که مساله‌های هندسی را با موقعیتی خاص در برابر خود بگذاریم و تلاش کنیم، آن چه ممکن است از این موقعیت به عنوان نتیجه بدست آید و همه بستگی‌هایی را که بین جزء‌های مختلف شکل وجود دارد، بدست آوریم و سپس ، درستی آنها را ثابت کنیم. با بیشتر مساله‌ها ، چه در
هندسه روی صفحه و چه در
هندسه فضایی ، می‌توان به این گونه عمل کرد. ولی بویژه در هندسه فضایی ، اهمیت بیشتری دارد.
با بررسی یک مساله ، می‌توان مساله‌های دیگری را نتیجه گرفت.
برای پیداکردن راهحلهای مختلف یک مساله ، ناچاریم مساله را از دیدگاههای گوناگون بررسی کنیم، به بستگی آن با دستورها ، قضیه‌ها ، مساله‌ها و گزاره‌های دیگر بیندیشیم و بر تجربه خود در کاربرد آگاهی‌هایی که در ذهن خود ذخیره کرده‌ایم، بیفزاییم. این راهی است که ما را به "یادگیری فعال" می‌رساند و علاقه ما را به ریاضیات دو چندان می‌کند. حل یک مساله با روشهای مختلف ، برای زندگی اجتماعی هم ، ارزش زیادی دارد. به ما می‌آموزد، وقتی در زندگی شخصی یا اجتماعی با مشکلی روبرو می‌شویم، به نخستین راهی که به ذهنمان می‌رسد، تسلیم نشویم و در جستجوی بهترین ، و نه پیش پا افتاده‌ترین راه باشیم. حتی اگر برخی راهحلها ، دشوار و پیچیده از آب درآیند، باز هم سودمندند، چرا که ضمن آنها ، به خیلی از موضوع‌های جنبی پی می‌بریم و در ضمن ، در حل مساله‌های دیگر کارآمدتر می‌شویم. بالاتر از همه نیروی
استدلال منطقی ما (چیزی که هم در ریاضیات و هم در دانشهای دیگر و حتی در زندگی اجتماعی ، ارزش بسیار دارند)، تقویت می‌شود.
مباحث مرتبط با عنوان
