مقدمه
توابع کسری یا هموگرافیک بخش مهمی از توابع را در ریاضیات به خود اختصاص داده اند این توابع دارای خواص و نکات ریزی هستند که باید با آنها آشنا شد. اغلب ما در رسم نمودار این گونه از مهارت کافی برخوردار نیستیم. یا حتی اگر آگاهی داشته باشیم باز هم برای رسم این توابع دچار مشکل می شویم. مهمترین علت این امر شایر برخورد با این توابع همانند سایر توابع می باشد. نکته مهم برای رسم این توابع پیدا کردن نقاطی است که ریشه مخرج می باشند و تقارن و مجانب در این توابع می باشد.
تعریف تابع کسری یا همگرافیک
تابع f به معادله ' که در آن a'≠0 است را تابع کسری یا هموگرافیک می گوئیم.
خواص تابع هموگرافیک
الف) منحنی های این تابع یک مجانب قائم به معادله و یک مجانب افقی به معادله دارد در حقیقت مجانب قائم آن ریشه مخرج و مجانب افقط آن حد تابع است وقتی x→∞.
ب) مشتق این تابع به صورت زیر محاسبه می شود:
ج) اگر محورهای مختصات را به موازات خود تا نقطه O' یعنی محل تلاقی مجانب ها انتقال دهیم، معادله جدید منحنی به صورت XY=K خواهد شد که در آن
د)دامنه این توابع مجموعه اعداد حقیقی منهای ریشه های مخرج می باشد.
هـ) برد این توابع مجموعه اعداد حقیقی است منهای یعنی .
برر سی یک به یک بودن توابع کسری: این توابع به ازای کلیه اعداد حقیقی به جز ریشه مخرج یعنی به ازای تمام اعداد از دامنه شان یک به یک هستند. زیرا:
فرمول****
بررسی فرد یا زوج بودن توابع کسری: این تابع در حالت کلی نه فرد است نه زوح. ولی اگر معادله تابع به صورت با شد آنگاه f تابعی فرد است.
بررسی معکوس پذیری تابع کسری: چون این تابع در یک به یک است بنابراین معکوس پذیر نیز می باشد و معادله معکوس آن چنین بدست می آید:
فرمول****
سوال: منحنی تابع معکوس تابع کسری در چه شرایطی بر منحنی تابع معکوس منطبق است؟
جواب: برای پیش آمدن چنین اتفاقی باید عدد مجانب قائم با عدد مجانب افقی برابر باشد. یعنی:
بررسی پیوستگی تابع کسری: اگر یا ، آنگاه تابع f پیوسته است.
بررسی مشتق پریری تابع کسزی: اگر و یا باشد آنگاه تابع f مشتق پذیر است.
مرکز و محور تقارن منحنی توابع کسری: محل تلافی مجانب ها نرکز تقارن منحنی تابع f است یعنی مرکز تقارن منحنی است و نیمسازهای مجانب ها محورهای تقارن است. برای نوشتن معادلات محورهای تقارن کافی است معادلات خطوطی را بنویسیم که از نقطه O' محل تلاقی مجانب ها می گذرد و ضریب زاویه آنها (1±) است.
بررسی صعودی ، صعودی اکید ، نزولی و یا نزولی اکید بودن توابع کسری:
الف) اگر ، انگاه تابع اکیدا صعودی است.
ب) اگر آنگاه تابع اکیدا نزولی است.
ج) اگر آنگاه مشتق صفر است و تابع ثابت می باشد یا می گویئم تابع به خط ثابت تبدیل می شود.
نکته: در مورد تناوب این گونه توابع باید گفت توابع کسری متناوب نمی باشند.
نکته: نمودار هر تابع کسری خطی یک هذلولی است که در امتداد هر دو محور انتقال یافته و در امتداد محور y ها کشش پیدا کرده است. برای رسم نمودار یک تابع کسری لازم نیست کسری را که این توابع را تعریف می کند تغییر دهیم از آنجا که می دانیم نمودار این توابع هذلولوی است. فقط کافی است که خطوط مجانب منحنی به علاوه چند نقطه اضافی از نمودار تابع را بیابیم به این ترتیب خواهیم دید که رسم این توابع کار مشکلی نیست.
مباحث مرتبط با عنوان
