!مقدمه
برهان خلف نوعی از برهان غیرمستقیم است؛ برای آنکه ثابت کنیم قضیهای درست است میتوانیم ثابت کنیم که خلاف آن قضیه ، یعنی ناارز آن (=نقیض) آن ، نادرست است. به این ترتیب که از صورت قضیه قسمتی را بعنوان فرض و قسمت دوم را بعنوان حکم در نظر میگیریم، بعد در جهت اثبات خلاف حکم مورد نظر حرکت میکنیم. بعد از طی مراحلی به جایی میرسیم که با فرض قضیه که در ابتدا آن را درست در نظر گرفته بودیم به تناقض میرسیم تناقض حاصل ما را به این مهم میرساند که جهتی را که برای اثبات خلاف حکم انتخاب کرده این نادرست است (زیرا با فرض در تناقض است) بنابراین حکم خلف رد شده و حکم قضیه اصلی اثبات میشود.
بنابراین با توجه به مطالب ذکر شده فوق اگر برای قضیهای داشته باشیم خلاف قضیه میشود و برای اثبات نادرستی ، برهان را از ، یعنی از خلاف حکم قضیه ، آغاز میکنیم و زنجیرهای از استلزامها تشکیل میدهیم که به تعارض برخورد کند، یا نتیجه آن خلاف فرض ، خلاف یکی از قضیههای قبلا ثابت شده، یا خلاف یکی اصول پذیرفته شده باشند و در این صورت نادرستی و در نتیجه درستی ثابت شده است.
برهانی درباره نیمسازها
مثلا برای اثبات اینکه "اگر دو نیمساز داخلی از مثلثی برابر باشند، دو ضلع نظیر آنها با هم برابرند". (این قضیه عکس قضیه) "در مثلث متساویالساقین دو نیمساز داخلی برابرند" است. قضیه اخیر بسادگی اثبات میشود اما اثبات عکس آن سالها ریاضیدانانی را به خود مشغول داشته است. در حال حاضر برای اثبات این قضیه دهها راه اثبات ارائه شده است که همه آنها بصورت برهان خلف هستند، یا از قضیه های کمکی بهره میگیرند که با برهان خلف ثابت شدهاند برهان خلف ، نظم و یکپارچگی ریاضیات را بیش از پیش برای ما نشان میدهد، توسط این برهان ما به اتحاد و همبستگی مطالب ریاضی بیشتر واقف میشود.
در حقیقت با برخورد به یک تناقض در اثبات به روش برهان خلف ، تنها عدم درستی حکم خلف ثابت نمیشود بلکه ارتباط بین قضایای مختلف در ریاضیات بیشتر جلوهگری میکند و لذت ریاضیات در همین اتحاد و یکپارچگی است. برهان خلف زیر نخستین و در عین حال زیباترین این برهانهاست که برای درک بیشتر مطالب فوق ذکر میشود.
یک مثال
در مثلث BD,ABC نیمساز زاویه B است و D روی ضلع AC واقع است. همین طور CE نیمساز زاویه C و روی ضلع AB قرار دارد همین طور داریم BD=CE ثابت کنید AB=AC؟
*فرض (P)
مثلث ABC
BD نیمساز زاویه D,B روی AC
CE نیمساز زاویه E,C روی AB
BD=CE
*حکم : AB=AC
برهان
هرگاه حکمها درست باشد یا AB>AC یا AB از زاویه بزرگتر است. EF را برابر و موازی با BD رسم و FC,FD را وصل میکنیم مثلث EFC تساوی الساقین است و مجموع دو زاویه با مجموع دو زاویه برابر است در متوازی الاضلاع BEFD دو زاویه برابرند پس از اینکه زاویه از زاویه بزرگتر است نتیجه میشود که زاویه از زاویه بزرگتر است.
پس نتیجه میشود که زاویه از زاویه کوچکتر است یعنی CD از زاویه کوچکتر و در نتیجه تمام زاویه B از تمام زاویه C کوچکتر و از آنجا AB>AC است که با فرض ABAC باشد نتیجه میشود که AB
از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..
وزارت آموزش و پرورش > سازمان پژوهش و برنامهريزی آموزشی
شبکه ملی مدارس ایران رشد
خلاف قضیه میشود 
و برای اثبات نادرستی 
، یعنی از خلاف حکم قضیه ، آغاز میکنیم و زنجیرهای از استلزامها تشکیل میدهیم که به تعارض برخورد کند، یا نتیجه آن خلاف فرض ، خلاف یکی از قضیههای قبلا ثابت شده، یا خلاف یکی اصول پذیرفته شده باشند و در این صورت نادرستی 
: AB=AC
بزرگتر است. EF را برابر و موازی با BD رسم و FC,FD را وصل میکنیم مثلث EFC تساوی الساقین است و مجموع دو زاویه 
با مجموع دو زاویه 
برابر است در 
برابرند پس از اینکه زاویه 
از زاویه 
از زاویه 
از زاویه 
کوچکتر است یعنی CD
کوچکتر و در نتیجه تمام زاویه B از تمام زاویه C کوچکتر و از آنجا AB>AC است که با فرض AB