بردارها در فضای سه بعدی
فضای واقعی فیزیكی ما، فضای مكانی سه بعدی است. در این فضا بیان بردار بعنوان پارهخط جهتدار نیازمند تعمیم موارد دو بعدی است. در اكثر موارد تعاریف و قضایای دو بعدی را به سادگی میتوان به فضای سه بعدی تعمیم داد.
بردار مكان
بیان كارتزین بردار مكان سه بعدی شامل طول، عرض، ارتفاع (یا عمق) نقطه مورد نظر نسبت به راستاهای مرجع بیان میشود. یعنی:
در مورد هر بردار دیگر هم داریم:

كه هر كدام مؤلفه

در راستاهای

،

و

هستند. بردار یكه راستای

را

مینامیم:
اندازه بردار در این حالت:
است، دلیلش را درشکل1-1-4-3 میبینید:
در مورد جمع برداری نیز تعریف همان تعریف است منتها در فضای سه بعدی روابط مطرح شده با یك مؤلفه اضافی

همچنان معتبر باقی میمانند:
برای اثبات رابطه فوق كافی است

و

را بفرم:

بنویسیم طبیعتاً

و

و

تصاویر

و

در صفحه دو بُعدیند كه:
اثبات

بطور هندسی كمی سخت است كه خاصیت شركتپذیری جمع است.
به هر صورت میتوانید با ترفند فوق و استفاده از خاصیت شركتپذیری در جمع تمام تعاریف دو بعدی را به سه بعدی تعمیم دهید.
مثلاً ضرب داخلی باز همان است یعنی
كه

زاویه بین جهات

و

در صفحهای است كه از

میگذرد.
رویكرد مؤلفهای آن:

خواهد بود.
مثال
بردار مكان نقاط روی یك خط را در فضا كه جهتش با بردار یكه

مشخص شده است و از نقطه

میگذرد، برحسب

فاصله نقاط از مكان

روی خط بیابید:
حل.
مثال
معادلهای را برای مجموعه نقاط فضا بنویسید كه جوابش بردارهای مكان روی صفحهای را در فضا بدهد كه بر بردار یكه

عمود است و از نقطه

میگذرد.
حل.
چون

بر صفحه عمود است به این معناست كه به همه بردارهای درون صفحه عمود است پس:
امّا وقتی كه

روی صفحه باشد:
اگر معادله را بصورت مؤلفهای بنویسیم:
كه

پیوند های خارجی
http://Olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0024.pdf