| انتگرالهایی را که در آن 2 کران بالا یا کران پایین یا هر دوی آنها ∞ باشد را انتگرال ناسره می‌نامیم. |
دید کلی
همان طور که می‌دانیم
انتگرال ریمان دارای دو ویژگی بسیار مهم است که عبارتند از:
1- تابع f کراندار است.
2- بازه انتگرال گیری همواره بسته و کراندار است.
اما انواع دیگری از انتگرالها است که دارای دو ویژگی فوق نیستند در این صورت مسلما چنین انتگرالهایی را نمی‌توان با استفاده از خواص انتگرالهای ریمان به جواب رساند. این انتگرالها از جهات بسیاری شبیه
سریهای نامتناهی هستند و از قوانین آنها پیروی می‌کنند.
تاریخچه
گارفری هرلد هاردی (1947-1877. Codfrey Harold Hardy) استاد دانشگاه کمبریج بود و کارهای عمیقی در زمینه
آنالیز ریاضی دارد. اصطلاح انتگرال ناسره از آن اوست. محاسبه انتگرال به دوران
ارشمیدس (212-287. Archimedes ق م) یعنی سیصد سال قبل از میلاد بر می‌گردد.
حساب دیفرانسیل و انتگرال به نام
نیوتن و
گاتفرید لایپ نیتس عجین شده است. البته در عهد شکوفایی رنسانس تحول عظیمی در پیشرفت دانش و علوم به وقوع پیوست.
ساختار این انتگرالها
انتگرالهای ناسره به بررسی مقدار انتگرال روی فواصل
و
و
می‌پردازند. انتگرالهای ناسره بر دو نوع اند:
1- انتگرالهای ناسره نوع اول
2- انتگرالهای ناسره نوع دوم
قضیه کوشی
در زیر قضیه بسیار مهمی را می‌آوریم که شرط لازم و کافی برای وجود انتگرال ناسره می‌باشد. این قضیه به افتخار
کوشی ریاضیدان معروف به نام
قضیه کوشی مشهور است.
- صورت قضیه کوشی: فرض کنید به ازای هر عدد حقیقی T تابع f بر بازه
انتگرال پذیر باشد شرط لازم و کافی برای آنکه موجود باشد آن است که:
ملاحظه می‌کنید که شرط فوق برای انتگرال ناسره با شرط کوشی برای سریها مطابقت دارد و شرط کوشی برای سریها بیان می‌کند:
با توجه به مطابقت فوق در می‌یابیم که انتگرال ناسره f در بازه
متناظر حاصل جمع جزئی سری
که k از m تا n است، می‌باشد.
ارتباط با سایر مباحث ریاضی
- آنالیز: انتگرال ناسره ارتباط تنگاتنگی با آنالیز در بحث همگرایی یا واگرایی توابع در فواصل دور دارد، همین طور فواصل و بازه‌های همگرایی را برای توابع مشخصی می‌کند.
- فیزیک: محاسبه کار و نیروی اعمال شده در زمانهای نامشخص و
و توسط انتگرال ناسره انجام می‌شود.
در نظریه
نسبیت انیشتین-
توابع مختلط- زمین شناسی برای
تعیین عمق آب-
فیزیک بالاخص رشته
نجوم کاربرد و اهمیت فراوانی دارد.
مباحث مرتبط با عنوان
منابع
- آنالیز ریاضی- دکتر علیرضا مدقالچی
- حساب دیفرانسیل و انتگرال جورج ب. تماس
