دیدکلی
وقتی که یک چشمه با
فرکانس υ در محیطی کشسانی نوسان میکند، ذرههای مجاور خود را نیز با همان فرکانس به نوسان در میآورد. بدین ترتیب همه ذرات محیط به
نوسان در میآیند. راستای نوسان این ذرهها ، ممکن است عمود بر راستای انتشار
موج و یا موازی با آن باشد. اگر راستای
انتشار بر راستای نوسان عمود باشد،
موج عرضی است. برای مثال اگر با یک حرکت نوسانی ساده ، یک سر تار یا طناب را به نوسان در آوریم، شکلهای ایجاد شده در
تار بطور تناوبی یکی پس از دیگری در تار پیش میروند، که هدف محاسبه
معادله موج جاری در این تار میباشد.
معادله موج عرضی
اویلر برای اولین بار در سال 1748 با در نظر گرفتن نیروهایی که تار را به
وضع تعادل بر میگردانند، معادله موج را بدست آورد. فرض میکنیم تاری با سختی قابل چشم پوشی و چگالی یکنواخت б در هر یک از دو انتهای خود با کشش T بر پایه محکمی استوار شده باشد. سرعت انتشار را با رابطه C = √ T/б نشان میدهیم و معادله انتشار موج عرضی به صورت زیر بیان میشود.
(1) ²y/dt² = C² ∂²y/∂x²∂
در رابطه فوق هر نقطه از تار در حال ارتعاش را با مختصات x و y بیان میکنیم.
جواب معادله موج
یکی از انواع حرکتهای متناوبی که در طبیعت وجود دارند،
حرکت هماهنگ ساده است، که نمونههای کامل آن را در ارتعاش
تار مرتعش میتوان بررسی کرد. جابجایی هر نقطه از تاری را که با حرکت هماهنگ ساده ارتعاش میکند و
فرکانس زاویهای آن ω است، به صورت کلی زیر میتوان نمایش داد.
(y = a1Sin (ωt-kx) +a2Sin (ωt+kx) +b1Cos (ωt-kx) +b2Cos (ωt+kx
لازم به ذکر است که رابطه قوق در واقع جوابی است که از حل معادله موج حاصل میشود. در این رابطه a
1 و a
2 و b
1 و b
2 ضرایب اختیاری هستند و k عدد موج است که مقدار آن برابر k =ω/c میباشد. با اعمال شرایط مرزی جوابهای متفاوتی برای ضرایب a
1 و a
2 و b
1 و b
2 میتوان بدست آورد. اگر شرایط مرزی ثابت بودن دو انتهای تار یعنی x =0 و x = l و y = 0 را اعمال کنیم، رابطه موج به صورت زیر در میآید.
(2) y = (-2a1Cosωt+2b1Sinωt)Sinkx
همانطور که مشاهده میکنیم، y به صورت حاصلضرب دو جملهای که یکی فقط به
زمان و دیگری به مکان نقطه ارتعاش وابسته است. با اعمال شرط مرزی y(x = l) = 0 به نتایج زیر میرسیم.
... Sinkl=0 , kn=nπ , n=1 , 2 ,3
در نتیجه تار با فرکانسهای محدودی مرتعش میشود، که در رابطه زیر صدق میکند.
...ωn=nπC/l و n=1 , 2 ,3
موج ایستاده
شرایط مرزی x = 0 و x = l کل موج هارمونیک را به
موج ایستاده تبدیل میکند که در حالت کلی به فرم رابطه (2) است. هارمونیک اصلی را که به ازای n = 1 حاصل میشود، میتوان به صورت زیر بیان کرد.
Y1= (A1Cosω1t+B1Sinω1t) Sink1x k1=π/l , ω1=πC/l
مد ارتعاش n ام نیز به صورت زیر خواهد بود.
Yn= (AnCosωnt+BnSinωnt) Sinknx kn=nπ/l , ωn=nπC/l
گره
نقاطی از تار را که ساکن هستند، گره میگویند. در این نقاط y
n= 0 میباشد. لذا در معادله (3) باید داشته باشیم :
nπx/l=mπ و m = 0, 1, 2… n
در این رابطه نقاط m =0 و m = n مربوط به نقطه ابتدایی تار است و بین آن دو ، n-1 نقطه ساکن وجود دارد. در نقاط گره دامنه صفر است.
شکم
نقاطی از تار را که دارای
دامنه ماکزیمم میباشد، شکم میگویند. اگر طول تار l باشد فاصله یک گره از گره دیگر یا یک شکم از شکم دیگر برابر با l/n است، که n تعداد مدهای تار بوده و فاصله یک گره از یک شکم برابر l/2π میباشد.
مباحث مرتبط با عنوان
