فرض کنید
a و b دو
عدد صحیح باشند و
b مخالف
صفر باشد. در این صورت اعداد صحیح و یکتایی مانند
q و r وجود دارند که
a = bq + r؛
r را باقیمانده تقسیم
a بر
b می‌نامند.
می‌دانیم عددی زوج است که بر
2 بخش‌پذیر باشد،و عددی که بر
2 بخش‌پذیر نباشد فرد است. بنابر الگوریتم تقسیم هر
عدد صحیح را می‌توان به شکل
2q+r نوشت، که در آن . بنابراین یا
r = 0 یا
r = 1 . به این ترتیب هر عدد زوج به شکل
2q و هر عدد فرد به شکل
2q + 1 است.
مساله. ثابت کنید مربع هر عدد فرد به شکل
8k + 1 است.
راه‌حل: فرض کنید
a عددی فرد باشد. در این صورت عددی صحیح مانند
t وجود دارد که
a = 2t + 1. در نتیجه
از طرف دیگر، چون از هر دو عدد صحیح متوالی حتماً یکی زوج است،
.بنابراین
.. در نتیجه عددی صحیح مانند
k وجود دارد که
4t(t + 1) = 8k. بنابراین
.
همچنین ببینید
منابع
- "نظریه اعداد" / تالیف رویا بهشتی زواره ، مریم میرزاخانی ؛ ویراستار ارشک حمیدی._ تهران : فاطمی، 1378.
