ریشه لغوی استنتاج

واژه عربی "استنتاج" به معنی طلب نتیجه کردن، یا نتیجه خواستن است که در زبان فارسی "نتیجه گیری" را معادل با آن به کار می‌برند. اگر "پیامد" را به معنی نتیجه بپذیریم، می‌توانیم استنتاج را "پیامدیابی" بنامیم. واژه فارسی "هوده" نیز به معنی نتیجه است و شاید بتوان "هوده‌یابی" یا "هوده گویی" را نیز به جای استنتاج به کار برد.

تعریف استنتاج منطقی

استنتاج منطقی ، که آن را قیاس می‌نامند، بدان معنی است که از یک یا چند گزاره مفروض با ارزشهای معین، گزاره دیگر را نتیجه بگیریم، یا اینکه ارزش این گزاره را معلوم کنیم. بنا به نوشته ابن‌سینا که از ارسطو نقل شده است: "قیاس سخنی بود که در آن سخنانی گفته شود که چون این سخنان پذیرفته آید از آنجا بالضروره گفته دیگر لازم آید."

نحوه نمایش استنتاج

هر استنتاج را که نمونه‌ای از یک قانون جبر گزاره‌ها است می‌توان به صورت ترکیب شرطی بیان کرد؛ زیرا قانون های جبر گزاره‌ها عموما به صورت ترکیب شرطی یا به صورت ترکیب دو شرطی هستند و چون ترکیب دو شرطی، ترکیب عطفی دو ترکیب شرطی است، پس هرگاه قانون باشد، نیز قانون است. در استنتاج که به صورت بیان می‌شود، P ترکیبی است از گزاره‌هایی (ساده یا مرکب) مانند که آنها را مقدمات یا مفروضات استنتاج می‌نامند که درستی هرکدام از آنها پذیرفته می‌شود، و از این رو می‌توان آنها را پذیرفته یا پذیره های استنتاج نام نهاد، و Q، که گزاره‌ای ساده یا مرکب است، نتیجه استنتاج نام دارد که می‌توان آن را هوده یا پیامد استنتاج نیز نامید.<br><br>
هرگاه قانون باشد و هر یک از گزاره‌های درست باشند که P نیز درست باشد، در آن صورت بنابه ویژگی ترکیب دوشرطی، Q نیز درست می‌باشد. در این حالت گفته می‌شود که استنتاج صحیح است. چنانچه استنتاج نمونه‌ای از یک قالب منطقی باشد (که این قالب قانون نیست) یا اینکه به گونه‌ای بیان شده باشد که به نظر برسد نمونه‌ای از یک قانون است اما چنین نباشد، استنتاج غلط است.

حالتهای مختلف استنتاج

استنتاج با مفروضات و با نتیجه Q را به صورتهای مختلف نشان می‌دهند. از جمله شش گونه زیر:<br><br>
1)
2)\left(P_1\wedge\P_2\wedge...\wedge\P_n\right)\RightarrowQ
3(
4(
5)
6(
مثلا:
مثلث ABC قائم‌الزاویه یا متساوی‌الاضلاع است.
مثلث ABC قائم‌الزاویه نیست.
مثلث ABC متساوی‌الاضلاع است.

بررسی درستی استنتاج

یک استنتاج منطقی وقتی درست است، (یا به عبارت دیگر، یک بحث وقتی معتبر است) که اولا نمونه‌ای از یک قانون باشد و ثانیا این نمونه به درستی بیان و عرصه شده باشد. بنابراین، برای بررسی درستی یک استنتاج، نخست قالب منطقی (صورت منطقی) آن را تشکیل می‌دهیم و معلوم می‌کنیم که قانون هست یا نه. اما برای آنکه معلوم کنیم قالب منطقی به دست آمده قانون است یا نه. از سه راه می‌توانیم عمل کنیم:<br><br>

1. از راه مراجعه به مآخذ یا با اتکاء به حافظه خود، مطمئن شویم که آن قالب در فهرست قانونهای جبر گزاره است.
2. از راه تشکیل جدول ارزشها و یا به کمک عبارت جبری ارزشها معلوم کنیم که آن قالب منطقی راستگوست.
3. قانون بودن آن قالب منطقی را با استفاده از تعاربف و قانونهایی که می‌شناسیم از راه استنتاج منطقی ثابت کنیم.

بررسی مقدمات و نتیجه

یک نتیجه را از مقدمات مختلف و حتی از یک دسته مفروضات معین به راههای متفاوت می‌توان به دست آورد، زیرا قانونهای زیادی را می‌توان در نظر گرفت که نتیجه همه آنها گزاره‌ای معین مثلا Q باشد. همچنین از یک دسته مفروضات معین ممکن است که نتیجه‌های مختلف به دست آید؛ مثلا هرگاه ترکیب عطفی چند گزاره نتیجه یک قانون باشد، هریک از این گزاره‌ها نیز می‌تواند نتیجه آن قانون باشد. بنابراین، هرگاه از یک دسته مفروضات چند نتیجه مختلف، یا اینکه یک نتیجه معین از چند دسته مفروضات به دست آمده باشد، به تنهایی دلیل برآن نخواهد بود که استنتاجهای بیان شده نادرستند.

روشهای استنتاج

روش (قاعده) استنتاج عبارت است از بیان همه قانونی که استنتاج نمونه‌ای از آن است. هر روش استنتاج با یک قالب به نام قالب استنتاجی نموده می‌شود که در واقع یک قانون جبر گزاره‌هاست که به صورت استنتاج بیان می‌شود. قالبهای استنتاجی قانونهای اولیه را به نام استنتاجهای ساده مشخص می‌کنند. قاعده‌های معروف استنتاج از قرار زیرند:

قاعده نفی در نفی

چنین نیست که شب نیست، بنابراین شب است.

قاعده طرد؛ شق سوم

هر موجود یا جاندار است یا غیرجاندار ، هر عدد یا اول است یا غیر اول.

قاعده عدم اجتماع نقیضین (قاعده ناسازگاری)

ممکن نیست که عددی هم اول باشد و هم غیر اول.

قاعده اختصار (قاعده حذف عاطف)

، اگر حسن و علی با هم آیند پس حسن می‌آید.

قاعده ادخال فاصل

اگر مثلث ABC متساوی‌الساقین است پس مثلث ABC متساوی‌الساقین است و یا دو قطر مربع برهم عمودند.

قاعده عکس نقیض

اگر عددی توانی از 5 باشد آنگاه آن عدد مضرب 5 است، بنابراین اگر عددی مضرب 5 نباشد توانی از 5 نخواهد بود.

قاعده انتزاع

اگر خورشید بتابد آنگاه روز است وخورشید می‌تابد پس روز است.

قاعده نقیض انتزاع

هرگاه ABCD مستطیل باشد دو قطر آن با هم برابرند. اما دو قطر ABCD باهم برابر نیستند. پس این چهار ضلعی مستطیل نیست.

قاعده قیاس (قاعده قیاس اقترانی)

اگر A الف باشد آنگاه B ب است و اگر B ب باشد آنگاه C ج است، پس اگر A الف باشد آنگاه C ج است.

قاعده رفع مولفه

مثلث ABC قائمه و یا شبیه قائمه است. اما مثلث ABC قائمه نیست پس مثلث ABC شبه قائمه است.

قاعده برهان خلف

@@TEX()} {\left\left(p\Rightarrowq\right)\wedge\left@text@{(p\Rightarrow\simq\right)\right\Rightarrow\simp} {TEX}
اگر مثلثی متساوی‌لاضلاع و قائم‌الزاویه باشد پس یک زاویه آن قائمه است اما اگر مثلثی متساوی‌الاضلاع و قائم‌الزاویه باشد آنگاه هیچ زاویه آن قائمه نیست. بنابراین مثلثی نیست که متساوی‌الاضلاع و قائم‌الزاویه باشد.

قاعده قیاس ذو‌الوجهین

مثلث ABC اگر قائم‌الزاویه باشد مجموع زاویه‌های آن 180 درجه است و اگر قائم‌الزاویه هم نباشد باز مجموع زاویه‌های آن 180 درجه است. پس مجموع زاویه‌های آن 180 درحه است.

قاعده نقیض عطف

قاعده نقیض فصل

اگر چنین نیست که احسان و امیرحسین می‌آیند پس احسان یا امیرحسین نمی‌آید.
اگر چنین نیست که کتاب دست نویس یا نقاشی است پس کتاب نه دست نویس است و نه نقاشی است.

قاعده‌های مربوط به گزاره‌های سوری

قانونهای جبر گزاره‌ها برای همه گزاره‌ها و از جمله گزاره‌های سوری معتبرند. از جمله این قوانین می‌توان به اختصار در زیر به چند قانون اشاره کرد:

قاعده تخصیص

اگر هر عضو از مجموعه‌‌ای خاصیت P داشته باشد و a عضوی از آن مجموعه باشد آنگاه a نیز خاصیت P دارد:

از تعمیم قاعده تخصیص قاعده زیر به دست می‌آید:

قاعده تبدیل متغیر

اگر به ازای هر x درست باشد پس یا یا .... نیز درست است:

قاعده شمول کلی به جزئی

که تعمیمی از قانون است: اگر همه عضوهای مجموعه‌ای ناتهی خاصیت p داشته باشند آنگاه بعضی از عضوهای آن مجموعه نیز خاصیت p دارند:

قانون قیاس (که تبدیلی از تعمیمی اول شمول است)

اگر هر x خاصیت p داشته باشد و اگر هر x که خاصیت p دارد خاصیت q داشته باشد پس هر x خاصیت q دارد:

مباحث مرتبط با عنوان

• استقرای ریاضی
• دستگاههای استنتاج و روشهای علمی
• سورها و گزاره‌های سوری
• قانون جبر گزاره‌ها
• قانون قیاسی
• گزاره‌های شرطی