تعریف احتمال شرطی

احتمال شرطی A به شرط B با (P(A│B نشان داده می‌شود و با فرمول

تعریف می‌گردد، که در آن P(B)>0 این فرمول را می‌توان به صورت زیر نوشت:

که آن قانون ضرب احتمالها گوییم. به همین نحو ، احتمال شرطی B به شرط A را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:


که منجر به رابطه (P(AB) = P(A) P(B|A می‌شود. بنابراین قانون ضرب احتمالها این تساوی را بیان می‌کند که حاصلضرب احتمال شرطی یک پیشامد در احتمال پیشامد شرطی کننده ، برابر است با احتمال اشتراک آن دو پیشامد.

دید کلی

اغلب لازم می‌آید که احتمال پیشامدی چون A، که با پیشامدی مانند B مربوط است، بعد از الاع بر وقوع یا عدم وقوع پیشامد B ، اصلاح گردد. بنابراین کسب اطلاعات درباره جنبه‌ای از نتایج آزمایش ، ممکن است تجدید نظر در احتمال پیشامدی را که مربوط به جنبه دیکری از نتایج است، ایجاد کند. اجتمال تجدید نظر شده A ، وقتی معلوم شود که B رخ داده است، احتمال شرطی A به شرط B نامیده و با (P(A│B نشان داده می‌شود.

احتمال شرطی برای 3 پیشامد

قانون ضرب را می‌توان برای بیش از دو پیشامد نیز تعمیم داد. در مورد سه پیشامد A ، B و C ، فرمول عبارت است از:

احتمال شرطی برای دو پیشامد مستقل

اگر دو پیشامد A و B مستقل باشند آنگاه احتمال شرطی به صورت زیر است:

شرطهای زیر ، هم ارز شرط بالا هستند:

با توجه به شرط استقلال اگر آزمایشی مرکب از دو قسمت فیزیکی مستقل و نامربوط به هم باشد، و پیشامد A و B به قسمتهای جداگانه آن آزمایش مربوط شوند، به پیشامد AB احتمال (P(AB) = P(A) P(B را نسبت می‌دهیم.

تفاوت "پیشامدهای دو به دو ناسازگار" و پیشامدهای مستقل"

این دو خاصیت کاملا متفاوت هستند؛ در حقیقت ، برقراری یکی منجر می‌شود به این که دیگری نتواند برقرار باشد. پیشامدهای A و B را که دارای احتمال های غیر صفرند در نظر بگیرید. وقتی آنها دو به دو ناسازگارند، اشتراک AB تهی است و P(AB) = 0. اگر این پیشامدها مستقل نیز باشند، می‌بایستی در شرط (P(A) P(B) = P(AB صدق کنند، که این موضوع نمی‌تواند درست باشد چون حاصلضرب دو عدد غیر صفر نمی‌تواند صفر باشد. به عنوان مثال ، پیشامدهای A و Á دو به دو ناسازگارند ولی بطور شهودی معلوم است که کاملا وابسته‌اند، به این معنی که به محض وقوع پیشامد A ، مطمئن هستیم که Á رخ نمی‌دهد.

قضیه بیز

قضیه بیز به صورت زیر است:



این فرمول بوسیله دیوراند تامس بیز (1702-1761) در معرض توجه عموم قرار داده شده و بنابراین به عنوان قضیه بیز معروف است. اگرچه این قضیه نتیجه‌ای مستقیم از مفهوم احتمال شرطی است، ولی دارای مفاهیم ضمنی دیگری است که در نگرش معینی به استنباط آماری موسوم به استنباط بیزی ، بکار می‌آید. این نحوه استنباط ، مبتنی بر این تعبیر است که B_jها عبارتند از "وضعیتهای طبیعی" ممکن ، که محقق احتمالهای ذهنی به آنها نسبت می‌دهد. این احتمالها که ممکن است بر مبنای احساس شخصی و نه از روی داده‌ها تعیین شوند (در حقیقت امکان دارد داده‌ها را بطور کلی در دست نداشته باشیم)، سپس با گواه آزمایشی A ترکیب می‌شوند.

احتمال پیشین و پسین

در ابتدا ، محقق از چند وضعیت طبیعی ممکن B₁ ، B₂ ، ... ، B_K با اطلاع است ولی دقیقا نمی‌داند که کدامیک از آنها براستی پیش می‌آید. مثلا ، برای یک داروساز ، دو وضعیت طبیعی نامعلوم ، می‌تواند موثرتر بودن یا موثرتر نبودن یک دارو نسبت به داروی دیگر باشد، برای یک آژانس تبلیغاتی ، امکان دارد وضعیتهای طبیعی ، اثرات ترکیبات مختلف رنگها در یک نمایش تبلیغاتی باشد.

احتمال پیشین

بر مبنای دانش موجود درباره وضعیت ، یا براساس یک گواه آزمایشی که از وضعیتهای مشابه بدست آمده است، محقق ممکن است درباره احتمالهای (P(B) ، P(B) ، ... ، P(B ارزیابی‌ هایی نماید که در واقع بازتابی از احساس شخصی او در مورد میزان تحمل بودن هر یک از وضعیتهای طبیعی است. چنین احتمالهایی را احتمالهای پیشین یا پیش از آزمایش ، برای وضعیتهای طبیعی گویند.

احتمال پسین

بعد از این کار ، محقق به انجام مشاهده یا اجرای آزمایش می‌پردازد و داده‌ها را گردآوری می‌کند. او می‌تواند احتمال گواه آزمایشی A را به شرط وقوع هر وضعیت مشهود B تعغیین کند، آنگاه قضیه بیز به محقق امکان می‌دهد که احتمالهای شرطی (P(B|A)، (j=1,…,K را محاسبه نماید، که این مار ، چیزی نیست چز نوعی تجدید نظر در احتمالهای وضعیتهای طبیعی مختلف ، بعد از بدست آمدن گواه آزمایشی. این احتمالهای تجدید نظر شده را احتمالهای پسین یا پس از آزمایش گویند؛ که هر گونه استنباطی در مورد وضعیتهای طبیعی نامعلوم ، باید مبتنی بر آنها باشد.

این روش استدلال ، از سوی بعضی مکتبهای فکری مورد این انتقاد قرار گرفته است که احتمالهای پیشین ممکن است تحت تاثیر نظرگاههای انحرافی محقق قرار داشته باشند. در عین حال ، پژوهشگران در بسیاری از رشته‌ها ، از قبیل حسابداری ، اقتصاد ، تعلیم و تربیت و غیره از این روش ستایش کرده‌اند.

مباحث مرتبط با عنوان

• احتمال پیشین
• احتمال پسین
• اجتماع
• اشتراک
• پیشامد
• پیشامدهای مستقل
• پیشامدهای ناسازگار
• قضیه بیز
• نظریه احتمال