اثبات غیر گویا بودن عدد e

در ریاضیات ، با استفاده از بسط سری:




از عدد "e می توان ثابت کرد که عدد "e اصم است .
فرض کنید که e = a / b که در آن a و " b" دو عدد صحیح مثبت باشند . عدد زیر را در نظر بگیرید :




نشان می دهیم که " x " یک عدد صحیح مثبت کوچکتر از 1 است و این تناقض ، غیر گویا بودن عدد را ثابت می کند .
عدد صحیح مثبت است ، زیرا داریم :






در اینجا آخرین مؤلفه در جمع آخری یک ضرب تهی empty product است .
برای دیدن این که عدد مثبت کوچکتر از 1 است ، توجه کنید که :




، و همینطور





در اینجا آخرین جمع یک سری هندسی geometric series است .
از آنجایی که هیچ عدد صحیح مثبتی که کوچکتر از 1 باشد وجود ندارد ، به تناقض می رسیم و لذا عدد باید غیر گویا یا اصم باشد . در اینجا اثبات کامل است .