هر عدد صحیح n>1 را می‌توان (صرفنظر از ترتیب عوامل) فقط به یک طریق بصورت حاصل ضربی از عوامل اول نمایش داد. برای اثبات صحت ادعای فوق از استقرا روی n استفاده می‌کنیم. قضیه برای n=2 درست است. پس فرض کنیم برای هر عدد صحیح بزرگتر از 1 و کوچکتر از n درست باشد. ثابت می کنیم قضیه برای n نیز درست است اگر n اول باشد، چیزی برای اثبات وجود ندارد. پس فرض کنیم n مرکب بوده و n دو تجزیه ، مثلا (*) داشته باشد، می‌خواهیم نشان دهیم S=t و هر p مساوی qای است.
چون حاصل‌ضرب را عاد می‌کند. باید دست کم یکی از عامل‌ها را عاد کند. را طوری اندیس‌گذاری می‌کنیم که . در اینصورت ، زیرا هر دو اولند. در عبارت (*) می‌توان با حذف از طرفین بدست آورد. هرگاه S>1 یا t>1 ، آنگاه . پس بنابه فرض استقرا ، دو تجزیه ، صرفنظر از ترتیب عوامل ، باید یکی باشند. بنابراین ، S=t و تجزیه‌های (*) نیز صرفنظر از ترتیب ، یکی می‌باشند و بدین ترتیب اثبات قضیه اساسی حساب به پایان می‌رسد.
طبق نکته فوق اگر تجزیه به عوامل اول b,a معلوم باشند. یک روش عملی برای محاسبه بمعم بدست می‌دهد. اما ممکن است در تجزیه به عوامل اول محاسبات زیادی لازم باشد. فرآیند مفیدی وجود دارد بنام الگوریتم اقلیدس ، که محتاج به تجزیه b,a نیست. این فرآیند بر تقسیمات متوالی استوار است و در آن از مطلب زیر استفاده می‌شود:
فرض کنیم اعداد صحیح و مثبت داده شده باشند که عاد نمی‌کند را. همچنین ، و الگوریتم تقسیم را متوالیا بکار بریم تا مجموعه باقیمانده‌های بدست آید که بترتیب با روابط زیر تعریف می‌شوند:
...
...
...
در اینصورت ، آخرین باقی‌مانده ناصفر در این فرآیند است یعنی .
از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..
وزارت آموزش و پرورش > سازمان پژوهش و برنامه‌ريزی آموزشی
شبکه ملی مدارس ایران رشد
داشته باشد، می‌خواهیم نشان دهیم S=t و هر p مساوی qای است.
حاصل‌ضرب 
را عاد می‌کند. باید دست کم یکی از عامل‌ها را عاد کند. 
را طوری اندیس‌گذاری می‌کنیم که 
. در اینصورت 
، زیرا 
هر دو اولند. در عبارت (*) می‌توان با حذف 
از طرفین بدست آورد. 
. پس بنابه فرض استقرا ، دو تجزیه 
، صرفنظر از ترتیب عوامل ، باید یکی باشند. بنابراین ، S=t و تجزیه‌های (*) نیز صرفنظر از ترتیب ، یکی می‌باشند و بدین ترتیب اثبات قضیه اساسی حساب به پایان می‌رسد.
بوده و 
به عنوان یک عامل ، 
بار بیاید. می‌توانی بنویسیم:
یا مختصرتر 
. این تجزیه n به 
را دارد که در آن هر 
مساوی 
، یعنی کوچکترین 
است.
بمعم بدست می‌دهد. اما ممکن است در تجزیه به عوامل اول محاسبات زیادی لازم باشد. فرآیند مفیدی وجود دارد بنام 
بعلاوه r=0 اگر و فقط اگر b|a.
داده شده باشند که 
عاد نمی‌کند 
را. همچنین 
، و الگوریتم تقسیم را متوالیا بکار بریم تا مجموعه باقیمانده‌های 
بدست آید که بترتیب با روابط زیر تعریف می‌شوند:
