سورها
سورها علامت‌ها یا الفاظی هستند که در جلوی گزاره نماها قرار می‌گیرند و متغیرهای
گزاره نما را به یک
مجموعه معین محدود می‌کنند(دامنه گزاره نما) و بدین ترتیب
گزاره نما را به
گزاره تبدیل می‌کنند. به جای اصطلاح سور اصطلاح «کم» را نیز بکار می‌برند. معادل فارسی کم چندی است و از این رو به جای اصطلاح سور اصطلاح چندی نما همچنین چندی گر را برگزیده‌اند که در ضمن معادل اصطلاح انگلیسی Quatifier و اصطلاح فرانسوی Quantificateur است.
در منطق ریاضی سورهای گوناگونی وجود دارند که عبارت اند از:
- سور عمومی
- سور وجودی
- سور انحصاری
- سور صفر
حال به بررسی هر یک از این سورها می‌پردازیم.
سور عمومی(کلی)
به گزاره‌های زیر توجه کنید:
- هر عدد اول فرد است.
- هر عدد طبیعی مثبت است.
- هر مربع، مستطیل است.
- هر تهرانی، ایرانی است.
در هر یک از گزاره‌های فوق بوسیله لفظ «هر» یک خاصیت را به تمام عضوهای یک
مجموعه نسبت داده ایم. الفاظی از این دست را سور عمومی یا کلی می‌گویم و به چنین گزاره‌هایی که به همراه الفاظی چون «هر»، «برای هر»، «به ازای هر» می‌آیند و خاصیتی را به کل اعضای یک
مجموعه نسبت می‌دهند گزاره‌هایی با سور عمومی یا گزاره‌های کلی می‌گوییم.
اگر (p(x یک
گزاره نما برای
متغیر x از
دامنه متغیر D باشد که بیان گر خاصیتی برای متغیر x است آنگاه گزاره با سور عمومی «هر x خاصیت (p(x را داراست» یا «برای هر x داریم (p(x» را به زبان ریاضی به این صورت نشان می‌دهیم:
که D در آن معرف مجموعه
دامنه متغیر است.
لازم به توضیح است که نماد
به معنی
برای هر(هر) یا
به ازاء هر است که برای بیان سور عمومی کاربرد دارد و از وارون کردن حرف اول کلمه «All» به معنی «همه» گرفته شده است.
- یک گزاره با سور عمومی(گزاره کلی) هنگامی درست است که مجموعه جواب آن با دامنه متغیرش مساوی باشد. به عبارت دیگر گزاره
هنگامی درست است که تمامی عضوهای D(دامنه) دارای خاصیت (p(x باشند.
به عنوان تمرین می‌خواهیم گزاره‌های زیر را به زبان ریاضی بنویسیم و ارزش هر گزاره را تعیین کنیم:
- مربع هر عدد حقیقی نامنفی است.
- مجذور هر عدد منفی، منفی است.
- هر عدد صحیح، گویا است.
- جذر هر عدد حقیقی از خود آن عدد کوچکتر است.
بررسی گزاره اول:
مربع هر عدد حقیقی نامنفی است:
این گزاره درست است چرا که برای هر عدد حقیقی، رابطه فوق برقرار است.
بررسی گزاره دوم:
مجذور هر عدد منفی، منفی است:
گزاره فوق نادرست است چرا که برای هر x عضو اعداد حقیقی منفی (دامنه) خاصیت فوق برقرار نیست. مثلاً برای 2- داریم:
بررسی گزاره سوم:
هر عدد صحیح، گویا است:
گزاره فوق درست است چون برای هر عدد صحیح(هر عضو دامنه متغییر)، درست است.
بررسی گزاره چهارم:
جذر هر عدد حقیقی از خود آن عدد کوچکتر است:
این گزاره نادرست است چرا که برای همه اعداد حقیقی(دامنه) درست نمی‌باشد به عنوان مثال:
- توجه داشته باشید که، برای رد درستی یک سور عمومی آوردن یک مثال نقض کافی است.
نقیض سور عمومی
می‌دانیم گزاره کلی
هنگامی درست است که تمام اعضای دامنه دارای خاصیت P باشند. بنابراین این گزاره هنگامی نقیض می‌شود که عضوی از دامنه یافت شود که که خاصیت P را نداشته باشد. پس می‌توان نوشت:
به عنوان مثال نقیض گزاره کلی«هر انسانی کوشا است» را می‌توان به این صورت نوشت: «انسانی وجود دارد که کوشا نیست».
حال به عنوان مثال می‌خواهیم نقیض هر یک از گزاره های زیر را نوشته و ارزش هر یک را تعیین کنیم:
بررسی گزاره اول:
نقیض این گزاره به این صورت است:
حال چون خود این گزاره نادرست است(چرا؟) می‌توان گفت نقیض آن درست است.
بررسی گزاره دوم:
نقیض این گزاره به این صورت است:
حال چون خود این گزاره درست است(چرا؟) می‌توان گفت نقیض آن نادرست است.
سور وجودی(جزئی)
به گزاره‌های زیر توجه کنید:
- بعضی از اعداد فرد هستند.
- بعضی از توانهای دو فرد هستند.
- نصف برخی از اعداد از خودشان بزرگتر است.
- بعضی از متوازی الاضلاع ها مربع هستند.
در هر یک از گزاره های فوق بوسیله لفظ «بعضی» یک ویژگی به دست کم یک عضو از اعضای یک مجموعه نسبت داده شده است. به الفاظی چون «وجود دارد»، «برای بعضی» که برای نسبت دادن یک خاصیت به بعضی از عضوهای
دامنه متغیر استفاده می‌شوند سور وجودی می‌گوییم و به گزاره‌ای که همراه این الفاظ می‌آید و بیانگر خاصیتی برای حداقل یک عضو از اعضای مجموعه دامنه متغیر است گزاره با سور وجودی یا گزاره جزئی می‌گوییم. اگر (p(x گزاره نمایی باشد که خاصیتی را در مورد متغیر x از دامنه تغییر D بیان می‌کند آنگاه
گزاره «حداقل یک x دارای خاصیت (p(x است» یا گزاره «وجود دارد x به طوری که x خاصیت (p(x را داشته باشد» یک گزاره با سور وجودی است که آن را به زبان ریاضی چنین می‌نویسیم:
لازم به توضیح است نماد
به معنی
وجود دارد(حد اقل یک) است که از وارون کردن حرف اول کلمه «Exist» به معنی «وجود داشتن» گرفته شده است.
- یک گزاره با سور وجودی هنگامی درست است که مجموعه جوابش تهی نباشد. به عبارت دیگر اگر حداقل یک x یافت بشود که در خاصیت (p(x صدق کند آنگاه گزاره با سور وجودی
درست است.
به عنوان مثال می‌خواهیم گزاره های زیر را به زبان ریاضی بیان کنیم و ارزش هر کدام را تعیین کنیم:
- مجذور بعضی از اعداد صحیح با خودشان برابر است.
- بعضی از اعداد حقیقی گویا نیستند.
- جذر بعضی از اعداد طبیعی از خودشان بزرگتر است.
- معکوس بعضی از اعداد صحیح، صحیح است.
بررسی گزاره اول:
مجذور بعضی از اعداد صحیح با خودشان برابر است:
این گزاره درست است، چرا که برای صفر و یک برقرار است پس مجموعه جوابش تهی نمی‌باشد. به عبارت دیگر جداقل یک عضو از مجموعه دامنه(اعداد صحیح) یافت می‌شود که در خاصیت فوق صدق کند.
بررسی گزاره دوم:
بعضی از اعداد حقیقی گویا نیستند:
این گزاره درست است چرا که حداقل یک عضو از مجموعه دامنه(اعداد حقیقی) یافت می شود که در این خاصیت صدق کند و مجموعه جواب ناتهی است. به عنوان مثال عدد حقیقی
جز اعداد گویا نیست.(چرا؟)
بررسی گزاره سوم:
جذر بعضی از اعداد طبیعی از خودشان بزرگتر است:
این گزاره نادرست است چرا که هیچ عضوی از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) یافت نمی‌شود که دارای این خاصیت باشد، لذا مجموعه جواب تهی است و گزاره با سور وجودی فوق نادرست است.
بررسی گزاره چهارم:
معکوس بعضی از اعداد صحیح صحیح است:
این گزاره درست است چرا که عدد صحیح یک در این خاصیت صدق می‌کند و مجموعه جواب ناتهی است.
نقیض سور وجودی
می‌دانیم گزاره
هنگامی درست است که مجموعه جوابش ناتهی باشد. لذا این گزاره زمانی نادرست است که مجموعه جوابش تهی باشد یعنی هیچ عضوی از دامنه در گزاره نمای (p(x صدق نکند و یا به عبارت دیگر همه عضوهای دامنه در (p(x صدق نکنند(در نقیض (p(x صدق کنند). پس داریم:
یا
به عنوان مثال نقیض گزاره «بعضی از اعداد اول زوج هستند» به این صورت است:«هر عدد اول فرد است» یا «هیچ عدد اولی زوج نیست».
حال می‌خواهیم در گزاره های زیر نقیض هر گزاره را تعیین کرده و ارزش هر گزاره را تعیین کنیم:
بررسی گزاره اول:
نقیض این گزاره به این صورت است:
که باتوجه به اینکه خود این گزاره درست است(چرا؟) پس نقیض آن نادرست است.
بررسی گزاره دوم:
نقیض این گزاره به این صورت است:
با توجه به اینکه این گزاره نادرست است(چرا؟) پس نقیض آن نادرست است.
سور انحصاری
به گزاره‌های زیر توجه کنید:
- تنها یک تابع هم زوج و هم فرد وجود دارد.
- معادله
یک جواب دارد.
- از هر نقطه خارج یک خط تنها یک خط می توان بر آن عمود کرد.
- از دو نقطه متمایز در صفحه تنها یک خط عبور می کند.
در هر یک از این گزاره ها بوسیله الفاظی چون «وجود دارد یک» خاصیتی تنها به یک عضو از مجموعه
دامنه متغیر نسبت داده شده است. به الفاظی چون «وجود دارد یک» که بیانگر خاصیتی برای تنها یک عضو از مجموعه دامنه متغیر است سور انحصاری می‌گویم و به گزاره‌ای که همراه این سور می‌آید گزاره با سور انحصاری می‌گوییم. اگر (p(x یک گزاره نما در مورد متغیر x از دامنه متغیر D باشد که بیانگر خاصیتی برای آن متغیر است، آنگاه گزاره با سور وجودی «تنها یک x وجود دارد که خاصیت (p(x را داشته باشد» یا «تنها یک x وجود دارد به طوری که (p(x» را به زبان ریاضی به این صورت می‌نویسیم:
نماد
به معنای «وجود دارد یک» است و برای بیان سور انحصاری به کار می‌رود.
به این ترتیب این گزاره با سور انحصاری فقط به ازای یک مقدار از دامنه متغیر درستند.
به عنوان مثال می‌خواهیم در گزاره‌های زیر ارزش هر گزاره را تعیین کنیم:
بررسی گزاره اول:
این گزاره درست است چرا که این معادله از درجه یک بوده است و دارای یک جواب است.
بررسی گزاره دوم:
این گزاره نادرست است چرا که بیش از یک جواب دارد.
سور صفر
به گزاره‌های زیر دقت کنید:
- هیچ عدد زوج اولی وجود ندارد.
- هیچ مستطیلی مربع نیست.
- مربع هیچ عدد حقیقی منفی نیست.
- هیچ عدد فردی بر 2 بخشپذیر نیست.
هر هریک از گزاره‌های فوق بوسیله لفظ«وجود نداد هیچ» یا «هیچ» خاصیتی از تمام عضوهای یک مجموعه(مجموعه دامنه) سلب شده است. به الفاظی چون «وجود ندارد هیچ» یا «هیچ» که خاصیتی را از تمام عضوهای مجموعه
دامنه متغییر سلب می‌کنند سور صفر یا هیچ می‌گویند و به گزاره‌ای که به همره این سورها می‌آید گزاره با سور صفر می‌گوییم. اگر (p(x یک
گزاره نما در مورد متغیر x از مجموعه
دامنه متغیر D باشد آنگاه گزاره با سور صفر «هیچ x دارای خاصیت (p(x نمی‌باشد» را به زبان ریاضی به این صورت می‌نویسیم:
نماد
به معنی وجود ندارد برای بیان سور صفر به کار می‌رود.
گزاره‌ها با سور صفر هنگامی صحیح هستند که مجموعه جوابشان تهی باشد.
به عنوان مثال می‌خواهیم درستی گزاره‌های زیر را بررسی کنیم:
بررسی گزاره اول:
این گزاره درست است چرا که هیچ عدد صحیحی یافت نمی‌شود که چنین خاصیتی را داشته باشد.
بررسی گزاره دوم:
این گزاره نادرست است چرا که مجموعه جواب آن تهی نیست و عدد یک در این خاصیت صدق می‌کند پس این گزاره نادرست است.
- لازم به تذکر است که با توجه به گزاره با سور صفر می‌توان گفت گزاره با سور صفر «هیچ x دارای خاصیت (p(x نمی‌باشد» می‌تواند به این صورت بیان شود «هر x دارای خاصیت (p(x~ می‌باشد» و این دو گزاره هم ارز می‌باشند. پس داریم:
به عنوان مثال گزاره
را می‌توان به این صورت بیان کرد:
نقیض سور صفر
همان طور که از قبل می‌دانید برای گزاره با سور صفر داریم:
بنابراین:
به عنوان مثال نقیض گزاره «هیچ عدد فردی بر 2 بخشپذیر نیست» را می‌توان به این صورت «بعضی از اعداد فرد بر 2 بخش‌پذیرند» بیان کرد.
حال می خواهیم نقیض گزاره‌های زیر را نوشته و ارزش آنها را تعیین کنیم:
بررسی گزاره اول:
نقیض این گزاره به این صورت است:
چون خود این گزاره درست است(چرا؟) پس نقیض آن نادرست است.
بررسی گزاره دوم:
نقیض این گزاره به این صورت است:
چون خود این گزاره نادرست است(چرا؟) پس نقیض آن درست است.
- همچنین علاوه بر مواردی که تا کنون بررسی کردیم گزاره‌هایی هستند برای بیان آنها از دو سور استفاده می‌شود که به آنها گزاره های دو سوری می‌گویند.
همچنین ببینید
