|
فاکتوریل
حال که با اصول جمع وضرب آشنا شدید، خوب است به معرفی فاکتوریل بپردازیم .مثال
با حروف کلمة
چند کلمة 7 حرفی با حروف متمایز میتوان ساخت؟
حل.
حرف اول این کلمة هفت حرفی هر یک از حروف
میتواند باشد (7 طریق). حرف دوم، نمیتواند همان حرف اول باشد، بنابراین به 6 طریق میتواند انتخاب شود. حرف سوم، نمیتواند حرف اول یا دوم باشد، بنابراین به 5 طریق میتواند انتخاب شود، به همین ترتیب حرف چهارم، پنجم ، ششم و هفتم به ترتیب، به 4 ، 3 ، 2 و 1 طریق میتوانند انتخاب شوند. پس طبق اصل ضرب، 
7 کلمة 7 حرفی با حروف کلمة میتوان ساخت.
تعریف فاکتوریل
به ازای هر عدد صحیح
( که
فاکتوریل، خوانده میشود) به صورت زیر تعریف میشود:
با توجه به تعریف فاکتوریل، جواب مثال قبلی برابر است با
، همچنین داریم: 
مثال
با حروف
چند کلمة 3 حرفی با حروف متمایز، میتوان ساخت؟
فرض کنید که هر ترکیب سه حرفی از حروف بالا، تشکیل یک کلمه را میدهد. مثلاً کلمة
یک کلمة مجاز است ولی کلمة
، یک کلمة غیرمجاز است زیرا حرف
دوبار تکرار شده است. هم چنین کلمة با کلمة
، فرق دارد.
حل.
حرف اول این کلمة سه حرف هر یک از حروف
میتواند باشد (5 طریق). حرف دوم، نمیتواند همان حرف اول باشد، بنابراین به 4 طریق میتواند انتخاب شود. حرف سوم، نمیتواند همان حرف اول یا دوم باشد، بنابراین به 3 طریق میتواند انتخاب شود. پس طبق اصل ضرب 
، کلمة مختلف وجود دارد. 
مثال
مقدار
را برای
و 
و نیز در حالت
و
محاسبه نمائید و جوابها را با هم مقایسه نمائید.
حل.
مثال
ثابت کنید
برای
حل.
به راحتی استقرا میزنیم:
حال فرض میکنیم
باشد برای 
داریم:
از طرفی
لذا حکم ثابت است.
مثال
ثابت کنید
حل.
به سادگی داریم:
