|
این مطلب از بخش آموزش وبسایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وبسایت المپیاد رشدموجود میباشد. برای مشاهده این موضوعات در وبسایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین میتوانید با کلیک اینجا ، با ویژگیهای بخش آموزش این وبسایت آشنا شوید. |
انعکاس
نقطه
و دایره ای به مرکز 
داده شده اند، منعکس نقطه نسبت به این دایره، بنا به تعریف، نقطهای است مانند 
واقع بر شعاع ماربر ، به طوری که:
شعاع دایره است. را مرکز انعکاس و دایره را دایره انعکاس گویند. بیشترین قضایای مورد نیاز ما در انعکاس از قضیه 1 و قضایای متناظر با آن درباره تبدیلهای موبیوس نتیجه میشوند.
قضیه1
فرض میکنیم
منعکسهای 
ها
نسبت به یک دایره باشند. در این صورت
برهان.
فرض میکنیم
تبدیل موبیوسی است که دایره انعکاس را بر محور حقیقی مینگارد. چون تبدیل موبیوس، تقارن را محفوظ نگاه می دارد، نقاط 
بر مزدوجهای مختلطشان نگاشته میشوند: یعنی اگر
، آنگاه 
. به علاوه، چون هر تبدیل موبیوس نسبتهای ناهمساز را محفوظ نگه می دارد، داریم
از آنجا که شرط لازم و کافی برای همدایره بودن چهار نقطه، حقیقی بودن نسبت نا همساز آنهاست(ومزدوج مختلط یک عدد حقیقی خود ان عدد حقیقی است )، بلافاصله قضیه به دست می آید:
قضیه2
انعکاس دایره های را محفوظ نگاه میدارد.به آسانی میبینیم که انعکاس هم دایره انعکاس را بر خودش مینگارد و هم خط ماربر مرکز انعکاس را. به علاوه دایرهای که از مرکز انعکاس بگذرد برخطی که از مرکز انعکاس نمیگذرد ولی موازی مماس بر این دایره در مرکز انعکاس است، نگاشته میشود. عکس این مطلب نیز درست است. زیرا فرض کنید
مرکز انعکاس و
قطری از این دایره است که باید منعکسش را تعیین کنیم و 
منعکس 
است. در این صورت به ازای هر نقطه از این دایره و منعکس آن داریم
( که شعاع دایره انعکاس است ). یعنی :
از اینجا نتیجه می شود که
به عکس فرض کنید، خطی که از مرکز انعکاس نمیگذرد داده شده باشد.
را پای عمود وارد از بر این خط و را منعکس می گیریم. پس به ازای هر نقطه از این خط، و منعکس آن ، داریم:
از این رو
، و لذا بر دایره ای به قطر واقع است. بالاخره، دایرهای که از مرکز انعکاس نمیگذرد بر دایره دیگری که از انعکاس نمیگذرد نگاشته میشود.
با تأسی به این که تبدیلهای موبیوس همدیس اند ( و با توجه به اینکه به ازای هر عدد مختلط:
، ( پیمانه
) 
، قضیه زیر به دست میآید :
قضیه3. انعکاس تبدیلی است حافظه زاویه؛ یعنی اندازه زاویه را محفوظ نگاه میدارد ولی جهت آن را عوض میکند.
بنابراین، انعکاس، یک زوج دایره متقاطع را به یک زوج دایره متقاطع با همان زاویه نقطه تقاطع (صرفنظر از جهت زوایا ) مینگارد. به خصوص یک زوج دایره متعامد را بر یک زوج دایره متعامد.