منو
 کاربر Online
1112 کاربر online
 : ریاضی
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از صفحه قبلی اقدام کنید.   کاربر offline علی هادی 3 ستاره ها ارسال ها: 469   در :  شنبه 31 اردیبهشت 1384 [07:44 ]
  پنتاگون و قضیه فرما
 

آیا میدانید پنتاگون مدتها انتشار هر گونه گزارشی در مورد کاربردهای قضیه کوچک فرما در رمزگشایی را ممنوع اعلام کرده بود!؟ قضیه ای که شاید ما به سادگی از کنار آن بگذریم.




  امتیاز: 3.00     
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از صفحه قبلی اقدام کنید.   کاربر offline مرادی فر 3 ستاره ها ارسال ها: 244   در :  شنبه 09 اردیبهشت 1385 [07:37 ]
  عجب!
 

با سلام:
آقای علی هادی لطفا اگر در این زمینه اطلاعات بیشتر و کامل تری دارید بنویسید تا استفاده ببریم.

  امتیاز: 0.00     
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از صفحه قبلی اقدام کنید.   کاربر offline علی هادی 3 ستاره ها ارسال ها: 469   در :  شنبه 09 اردیبهشت 1385 [09:11 ]
  فقط یک خبر
 

با سلام
آقای مرادی فر این خبری بود که من قبلا اونو تو مجله science دیده بودم ولی اطلاع کاملی از جزئیات آن ندارم
اگر به موردی در این زمینه برخورد کردم حتما در اختیار کاربران عزیز این انجمن قرار خواهم داد.

  امتیاز: 0.00     
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از صفحه قبلی اقدام کنید.   کاربر offline سعید صدری 3 ستاره ها ارسال ها: 270   در :  شنبه 09 اردیبهشت 1385 [12:52 ]
  قضیه کوچک فرما -> احتمالات -> قضیه کوچک فرما
 

یک مساله‌ی بسیار مهم در رمزنگاری استفاده از اعداد تقریبا اول می‌باشد.
یعنی اعداد که حاصل‌ضرب دقیقا دو عدد اول باشند.
ساختن این عدد بوسیله‌ی دو عدد اول راحت است ولی نتیجه‌ی این حاصل‌ضرب یک عدد تقریبا اول خیلی بزرگ است که تشخیص آن کار بسیار مشکلی است و از آن مشکل تر تجزیه‌ی آن است.
برای تشخیص اول بودن یک عدد اول راه حلی که به نظر می‌رسد تقسیم آن به اعداد کوچکتر است ولی این کار با سریعترین کامپیوتر دنیا هم کاری بیهوده است .
مثلا برای تجزیه یک عدد 50 رقمی زمانی بیشتر از عمر دنیا هم کفایت نمی‌کند!!!!
راه حل دیگر استفاده از قضیه کوچک فرما است که از عکس آن عدد های اول را می توان شناخت ولی متاسفانه در مورد اعداد مرکب نمی‌توان از آن استفاده کرد.
تا چند سال قبل تنها راه حل برای این مشکل استفاده از علم احتمال برای تشخیص اول بودن یک عدد بوده. برای این کار بوسیله‌ی اعداد اول متغیر تصادفی را تعریف می‌کنند که دارای شرایط حرکت براونی می‌باشد. حال از عکس آن به طور تقریبی میتوان اول بودن یک عدد را تشخیص داد.
فکر می کنم حدود 4 سال پیش یک ریاضی دان هندی همران با چند تن از دستیارانش مشکل استفاده از قضیه کوچک فرما برای تشخیص اول بودن اعداد برطرف کردند (چطورش رو من هم نمی دونم frownquestion) . الان اسم این ریاضی دان خاطرم نیست . هروقت جایی اسمش رو دیدم حتما خبرتون می کنم.

  امتیاز: 0.00     
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از صفحه قبلی اقدام کنید.   کاربر offline حسین خادم 4 ستاره ها ارسال ها: 1813   در :  پنج شنبه 10 اسفند 1385 [08:49 ]
  آخرین رابطه فرما
 

آخرین رابطه فرما راز دیگری از ریاضیات به آخرین رابطه فرما شهرت یافته است. فرما که از دانشمندان مشهور فرانسه است، در حاشیه کتاب خود چنین می نویسد `اگر عددی بزرگاتر از 2 باشد، اعداد درستی که در رابطه am+bm=cm صادق باشند، وجود ندارد و وی مدعی شده است که راه حل شگفت انگیزی برای آن یافته که حاشیه کتاب گنجایش آن را نداشته است.

از مدتها پیش اعدادی یافت شده بود که در رابطه a2+b2=c2 صادق باشد. مانند اعداد 3و4و5 (این اعداد به اعداد فیثاغورث معروف هستند، زیرا در رابطه فیثاغورث صادق می باشند)، اما کسی نتوانسته اعدادی بیابد که در رابطه a 4+b4=c4,a3+b3=c3 صدق کنند (البته اعداد مثبت درست). آنچه فرما گفته این است که اعدادی با چنین خواصی یافت نمی شوند. پس از مرگ فرما دانشمندان بر آن شدند که از یادداشتهای او برای نظریه وی دلیل بیابند، اما کسی از ایشان موفق به این موضوع نشد و بر بطلان آن دلیل اقامه نگردید.

  امتیاز: 0.00     
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از صفحه قبلی اقدام کنید.   کاربر offline مرادی فر 3 ستاره ها ارسال ها: 244   در :  دوشنبه 14 اسفند 1385 [08:56 ]
  قضیه آخر فرما
 

تصویر با سلام:
آقای خادم اشاره جالبی به قضیه آخر فرما یا (FLT(Fermat`s last theorem کردند که من لازم دیدم چند مطلب در اینجا به آن اضافه کنم از جمله اینکه این قضیه در حال حاضر به اثبات رسیده است.
قضیه آخر فرما که گاهی به صورت FLT مخفف می شود و گاهی عبارت قضیه بزرگ فرما (Fermat`s great theorem) برای آن به کار می‌رود از مشهور ترین قضایای تاریخ ریاضیات است. این قضیه بیان می کند اعداد صحیح و مثبتی چون x,y,z وجود ندارند به طوری که:

که در آن n عددی طبیعی بزرگتر از دو است.
ریاضیدان قرن هفدهم پیر دو فرما (Pierre de Fermat) در سال 1637 در باره این قضیه در کتاب Claude-Gaspar Bachet که ترجمه ای از کتاب Arithmetica(حساب) نوشته دیوفانتوس است نوشته است که متن نوشته او به انگلیسی و لاتین چنین است:
  • ``I have discovered a truly remarkable proof of this theorem that the margin of this page is too small to contain``
  • ``Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet``
که ترجمه آن چنین است:
«من یک برهان درست و قابل توجه برای این قضیه پیدا کرده ام که حاشیه این صفحه برای جای گرفتن آن بسیار کوچک است.»
به هر حال تا بعد از 357 سال هیچ برهان درستی پیدا نشد!
این عبارت بسیار مهم و معنی دارد است چرا که تمام قضایای دیگری که توسط فرما مطرح شده است یا بوسیله خود او یا بوسیله اثبات هایی که بعدا ارائه شدند به اثبات رسیده بودند. ریاضیدانها برای مدت طولانی گیج شده بودند چرا که نه می توانستند درستی این قضیه را اثبات کنند و نه می توانستند اثباتی برای عدم درستی آن ارائه دهند. به این ترتیب این قضیه آخرین حدس فرما نبود بلکه آخرین حدس مطرح شده توسط فرما بود که بعد از مدتها به اثبات رسید.
در ان زمان نیاز به اثبات این قضیه در حالات n=4 و حالاتی که عدد n عددی اول بود وجود داشت. برای حالات خاص n قضیه به اثبات رسید ولی در حالت کلی n اثباتی برای قضیه ارائه نشده بود.
حالت n=4 توسط خود فرما و حالت n=3 توسط لئونارد اویلر به اثبات رسید و حالت n=5 توسط دیریکله و لژاندر(Legendre) در سال 1825 و حالت n=7 توسط گابریل لَمه(Gabriel Lame) در سال 1839 به اثبات رسید.
در سال 1983 ، Gerd Faltings انگاره موردل(Murdell conjecture) را به اثبات رسانید که بیان می داشت برای هر n>2 حداکثر تعداد متناهی اعداد نسبت به هم اول a,b,c وجود دارد که:
سرانجام با استفاده از ابزارهای پیشرفته ریاضی هندسه جبری بویژه خم های بیضوی(elliptic curves) و ساختارهای پیمانه ای
(modular forms) و تئوری گالیوس(Galois theory) و جبر Hecke، ریاضیدان انگلیسی اندرو وایلز (Andrew Wiles) به کمک دانشجوی سابق خود ریچارد تیلر
(Richard Taylor) یک اثبات برای قضیه آخر فرما ارائه داد که در سال 1995 در ژورنال Annals of Mathematics (سالنامه ریاضیات) منتشر شد.
داستان برهان این قضیه هم به اندازه خود قضیه قابل توجه و اسرار آمیز است. وایلز خود به تنهایی هفت سال به صورت پنهانی به بررسی جزئیات قضیه پرداخت. وقتی او از بیست و یکم تا بیست و سوم ژوئن سال 1993 برهان خود را در سه دوره سخنرانی در در دانشگاه کمبریج ایراد کرد، حضار خود را با انبوه ایده ها و راه هایی که در اثبات خود به کار برده بود شگفت زده کرد. متاسفانه در بررسی های دقیق تر یک خطای جدی پیداشد که به نظر می رسید برهان او به سوی رد شدن سوق دهد. وایلز و تیلر یک سال را صرف احیای دوباره برهان کردند و سرانجام در سپتامبر 1994 آنها موفق شدند اثبات را با کمی تفاوت احیا کنند.

  • آیا فرما واقعاً برهان را می دانست؟:
این نوشته فرما به زبان لاتین در حاشیه ترجمه کتاب دیوفانتوس است:
,Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos

et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum patestatem in duos euisdem

.nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi

.Hanc marginis exigitas non caperet


It is impossible to separate a cube into two cubes, or a fourth power into two)

fourth powers, or in general, any power higher than the second into two like

powers. I have discovered a truly marvelous proof of this, which this margin

(.is too narrow to contain

ترجمه متن فوق چنین است:
« جدا کردن مکعب یک عدد به مجموع مکعبات دو عدد دیگر غیر ممکن است، یا جدا کردن توان چهارم یک عدد به مجموع توان های چهارم دو عدد دیگر، یا به طور کلی هر توان بزرگتر از دو را به دو عدد با توان های مشابه. من یک راه درست حیرت آور برای این مطلب یافتم که این حاشیه برای جای دادن آن خیلی باریک است.»

در اینجا یک شک قابل توجه وجود دارد که آیا ادعای فرما مبنی بر داشتن یک دلیل حیرت آور درست درست بود؟
حجم برهان ارائه شده توسط وایلز بالغ بر 200 صفحه است و از درک بسیاری از ریاضیدانان امروزه خارج است. وجود یک راه حل کوتاه‌تر و در عین حال ساده تر از نظر روش اثبات ممکن است چرا که اثبات هایی که برای بار اول ارائه می شوند معمولاً از روش های طولانی هستند. روش هایی که توسط وایلز مورد استفاده قرار گرفته بود در زمان فرما ناشناخته بود و عقیده ای که بعید به نظر می رسد این است که فرما توانسته بود ریاضیات لازم برای اثبات قضیه را بدست آورد.
برطبق گفته اندرو وایلز:
«It`s impossible; this is a 20th century proof»

«این غیر مکن است؛ این برهان قرن بیستم است»

عقیده دیگر این است که یک راه حل ساده تر نیز وجود دارد که تا کنون ریاضیدانان از آن غافل هستند و یا فرما در آن زمان دچار اشتباه شده است که بر این اساس یک دلیل اشتباه که ممکن است در دسترس فرما بوده باشد پیشنهاد شده است.
این واقعیت که فرما هرگز تلاش خود را در مورد برهان قضیه ارائه نداد یا حتی به صورت معمولی از داشتن راه خبر نداد نشان می دهد که او ممکن است بعدها افکاری داشته است و به سادگی از برداشتن نوشته حاشیه ای خود غفلت کرده است. بعلاوه او بعدها یک برهان برای حالت n=4 در قضیه منتشر کرد، اگر او واقعاً برهان قضیه کلی را در اختیار داشت این بعید به نظر می رسد که برهان را در یک حالت خاص n=4 ارائه دهد مگر اینکه این حالت خاص بتواند به اثبات قضیه کلی کمک کند.

  امتیاز: 0.00