2+c
این معادله به عنوان قانون که کاربدر متعدد دارد مشهور است. این معادله مخصوص ،فراکتالی را که به عنوان جولین معروف است شکل می دهد.در این معادله "c" برابر است با یک شماره پیچیده که می تواند هر ارزشی داشته باشدو نتیجه نیز یک جولین دیگر خواهد بود."n" نیز به عنوان متغیر به کار می رود.
متغیر ها مخصوص هستند چرا که با c یعنی یک شماره پیچیده یا فرضی در ارتباط هستند. در موقعی که متغیر ها (x,y) هستند در فراکتال هندسی، این شماره به صورت x+iy نشان داده می شود.به عبارت دیگرx ثابت و y عدد متغیر و فرضی ست. می دانید که در فراکتال هندسی ، محور x محور واقعی و محور y محور فرضی می باشد. حالا بر می گردیم به کاربرد فراکتال و متغیر های جدید یعنی (x+iy) را به جای nبه کار ببریم. حتما می پرسید چگونه این کاربرد آن نمودار های جالب را می سازند.بسیار خوب به جای اینکه نتیجه کاربرد یک خط باشد فقط یک نقطه می شود. که اگر به تعریف نقطه نگاه کنید می تواند بسیار کوچک باشد و این امر نشان می دهد که چگونه می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کنیم و یک فراکتال جدید کلی را به دست آوریم.این نقطه روی n ، یعنی متغیر ها وجود دارد.البته فراکتال ها رنگی هستند.
این رنگها چگونه انتخاب می شوند؟ این نیز مثل همه چیز نسبتاً ساده است. اول نیاز به نقطهای برای رنگ کردن دارید. مثلاً به جای نقطه c نقطه (2+li) را انتخاب می کنیم.به خاطر دارید که c می تواند هر عدد پیچیده ای باشد.حالا آن را وارد معادله می کنیم:
f (n)=f(2 + li)=
(2 + li)(2 + li)+(l + li)=
2*2 + 2i + 2i + i

2+c یک تابع فراکتال است که به قانون بازگشت معروف است . این معادله ی به خصوص یک فراکتال معروف ، موسوم به مجموعه ی جولیان را تشکیل می دهد .
در این معادله c یک عدد مختلط (شامل یک عدد موهومی) است که می تواند هر مقداری باشد و نتیجه ی آن یک مجموعه ی جولیان متفاوت باشد. n به جای مختصات نقطه قرار می گیرد
این موضوع را در نظر داشته باشید زیرا به زودی به آن باز می گردیم . این مختصات ویژه هستند زیرا همان طور که حدس زدید اعداد موهومی را در بر می گیرند.هنگامی که این مختصات
(x,y) هستند ، در هندسه ی فراکتال به صورت x+iy نشان داده می شوند . به عبارت دیگر ، x
مقداری ثابت و y یک عدد موهومی است . همان طور که در هندسه ی فراکتال ها مشاهده کردید، محور x نشان دهنده ی اعداد حقیقی و محور y نشان دهنده ی اعداد موهومی است .
حال به تابع فراکتال بر می گردیم . از مختصات (x+iy) به جای n استفاده می کنیم . حالا می پرسید که این تابع چه طور نمودارهای بزرگ فراکتال را می سازد . بسیار خوب ، نتیجه ی یک تابع ، به جای این که یک خط شود ، تنها یک نقطه را نمایش می دهد ـ که اگر ما به تعریف یک نقطه نگاه کنیم ، می تواند بی نهایت کوچک باشد ـ که بیان می کند چه طور می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کرده و به فراکتال جدید کاملی برسیم . نقطه در مختصات n قرار دارد . البته فراکتال ها بسیار رنگارنگ هستند. حالا این رنگ ها چه طور انتخاب می شوند؟ مثل هر چیز دیگر ، نسبتاً ساده است . ابتدا لازم است که یک نقطه را رنگ کنید ، بیایید نقطه (2+1i)
را در نظر بگیریم . برای مقدار c از (1+1i) استفاده می کنیم . به خاطر آورید که c می تواند هر عدد مختلطی باشد . حال این را در معادله قرار می دهیم .

f(n)=f(2+1i)=(2+1i)(2+1i)+(1+1i)
=2*2+2i+2i+i

2=-1)=
این ها مختصات جدید ما هستند . به یاد آورید که اگر یک مجموعه از مختصات را در یک تابع قرار دهید ، نتیجه یک مجموعه ی جدید از مختصات است . 4+5i مجموعه ی مختصات جدید است . هنوز کار تمام نشده است ، عمل بالا یک تکرار را نشان می دهد . مجموعه ی مختصات را وارد تابع می کنیم تا بتوانیم ثابت کنیم که یک نقطه :
(a روی نمودار قرار نمی گیرد (مثال : در یک نمودار 10*10 مؤلفه های جدید (97 ، 234-) هستند)
(b هرگز نمودار را ترک نمی کند (این قانون بعد از 200 بار تکرار ، اگر نقطه باز هم روی نمودار باشد ، صادق است .)
نحوه ی انتخاب رنگ به این صورت است که اگر نقطه بعد از یک بار تکرار نمودار را ترک کند ، یک رنگ به آن نسبت می دهیم . هر نقطه بعد از آن ، که بعد از یک تکرار نمودار را ترک کند ، همان رنگ را دارد . تمام نقاطی که بعد از 2 تکرار نمودار را ترک می کنند ، با یک رنگ مشخص نشان داده می شوند و هر نقطه ای که نمودار را هرگز ترک نکند با رنگ متمایز معمولاً سیاه علامت گذاری می شود .

تابع f(x)=f(x-1)