برای پاسخ دادن به این ارسال باید از
صفحه قبلی
اقدام کنید.
ناشناس
در : پنج شنبه 24 آبان 1386 [17:49 ]
مجموعه
سلام
یه سوال داشتم.
آیا یه مجموعه عضو خودش هست یا نیست؟
خودم میدونم نیست اما معلممون گفته با دلیل اثبات کنید.
البته باید استدلال استنتاجی باشه.
امتیاز: 0.00
شما باید یک عنوان و متن وارد کنید!
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از
صفحه قبلی
اقدام کنید.
ناشناس
در : پنج شنبه 22 آذر 1386 [18:26 ]
پاسخ
با سلام:
دیدم بد نیست بعد از مدتها انجمن را یک قلقلکی بدم و چه خوب یک یک سوال پیدا کردم که بحث جالب و جذابی را باز می‌کند که بسیار مورد علاقه من است. من توضیحاتی را در این باره می‌دهم که حاصل مطالعات خودم است، و دوست دارم نظر دبیر انجمن و سایرین را در مورد پاسخ به این سوال بدانم؟ « آیا یک مجموعه می‌تواند عضو خودش باشد؟ »
این سوال سوالی اساسی و جالب است. البته برای من جای تعجب دارد که چگونه یک معلم در سطح حداکثر دبیرستان چنین سوالی را برای دانش‌آموزان طرح می‌کند؟ پاسخ به این سوال نیاز به مطالعه تقریباً عمیقی در نظریه مجموعه‌ها دارد. با این سوال به دو صورت در دو سطح مختلف می‌توان برخورد کرد.
سطح اول، این است که شما بخواهید با نظریه مجموعه‌هایی که در دوران راهنمایی یا دبیرستان می‌خوانید به این سوال پاسخ دهید.
در چنین سطحی ممکن است مثالهایی از قبیل مجموعه همه مجموعه‌هایی که با کمتر از 100 حرف قابل توصیفند، مجموعه همه چیزهایی که انسان نیستند، به عنوان مجموعه هایی که عضو خودشان هستند معرفی شوند.
اما نباید این مثال‌ها را جدی گرفت! به نظر من این سطح برای بررسی این سوال اصلاً مناسب نیست. نظریه مجموعه‌هایی که در دبیرستان تدریس می‌شود نا دقیق است. خیلی از چیزهایی که ما در آنجا بررسی می‌کنیم اساساً مجموعه نمی‌باشند! اگر ما ریاضی مطالعه می‌کنیم، باید با اشیای ریاضی کار کنیم و لذا چیزهایی چون مجموعه همه انسان‌ها، همه قاشق‌ها، همه روزهای سال و... اساساً مجموعه نمی‌باشند و ورود آنها به بحث بی‌مورد و ناراحت کننده است.
در نظریه مجموعه‌ها به معنی واقعی کلمه، همه اعضا و چیزهای مورد بحث مجموعه هستند. اساساً در ریاضیات همه اشیای ریاضی مجموعه هستند، توابع، اعداد، رابطه‌ها، و هر چیز دیگر بر پایه مجموعه ها تعریف می‌شوند و خود مجموعه هستند. پس در دیدگاه دقیق اعضای یک مجموعه هم مجموعه هستند. اما یک مجموعه چیست؟ ما نمی‌دانیم! اساساً همین ندانستن و ارائه تعاریفی که به ظاهر درست بودند باعث بروز پارادکس‌هایی چون پارادکس راسل درز نظریه مجموعه‌ها شد. پیش از آن هر مجموعه ای را می‌توانستیم تشکیل دهیم که این موجب بروز تناقض می‌شد. برای جلوگیری از این تناقضات و اینکه چهارچوبی داشته باشیم و بدانیم در قالب آن انجام چه کارهایی با مجموعه‌ها مجاز است و اساساً چگونه می توان یک مجموعه را تولید کرد، به تعریف اصول موضوع نیاز داریم که اولین آنها اوصول موضوع تسرملو-فرانکیل یا ZFC است. پس از ان انواع و اقسام اصول موضوع تعریف شدند و برپایه آن نظریه مجموعه‌های متفاوتی بوجود آمد.
در ZFC اصل موضوعی وجود دارد به نام اصل موضوع ترتیب یا Axiom of foundation که بیان می‌کند هر مجموعه عضوی دارد که اشتراک آن با آن مجموعه تهی است.(به یاد آورید که اعضای مجموعه‌ها خود مجموعه هستند.) یا معادلاً هیچ مجموعه ای عضو خودش نیست.
اما این به عنوان یک اصل است و نه وحی مُنزَل! مشکل اینجاست که در سطح دوم بحث که سطحی پخته، دقیق و برپایه اصول موضوع است، یک نظریه مجموعه ها وجود ندارد! علاوه بر ZFC، نظریه مجموعه‌های زیادی مانند فون نیومن-برنیز-گودل NBG، یا New foundation و... وجود دارد که هریک مجموعه‌ای از اصول موضوع سازگار را دارند و برای بررسی یک سوال باید بدانیم در کدامیک از اینها کار می‌کنیم. اگر در ZFC،NBG باشیم اصل موضوع ترتیب به سوال شما پاسخ منفی می دهد اما در عین حال نظریه مجموعه‌هایی وجود دارد که با مجموعه های غیر خوش بنیاد Non-well founded sets کار می‌کنند یعنی مجموعه هایی که می توانند عضو خودشان باشد، اما تا در این مورد مطالعه نکنید نمی‌تونید حدس بزنید این دسته از مجموعه‌ها چگونه خواهند بود. چنین مجموعه‌هیی بویژه در علوم کامپیوتری اهمیت دارند.
خب پس، در نهایت می‌توانید با معرفی مثالهایی ساده مانند آنچه در ابتدا بیان شد، بگویید چنین مجموعه‌هایی وجود دارند، یا بحث را دقیق کنید و بر اساس دیدی درست به مسئله نگاه کنید، یعنی مجموعه ها را از دیدگاه اصل موضوعی برسی کنید، در این صورت پاسخ بلی و خیر خواهد بود، بستگی دارد چه اصولی را انتخاب کنید.
برای بحث بیشتر می توانید به من ایمیل بزنید: pooyan@math.com
همچنین در مورد نظریه مجموعه‌ها، پارادکس راسل، نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها ZFC و اصول آن ضمن جستجو و مراجعه به سایت های خارجی می‌توانید از مقالات من در ویکی پدیای فارسی(www.fa.wikipedia.org) استفاده کنید.
باتشکر
پویان مرادی فر
امتیاز: 0.00
وزارت آموزش و پرورش > سازمان پژوهش و برنامه‌ريزی آموزشی
شبکه ملی مدارس ایران رشد
شما باید یک عنوان و متن وارد کنید!