با سلام:
بیاید در این قسمت در مورد نظریه مجموعه ها بحث کنیم. بحث در مورد سوالاتی که ممکن است در ذهن ما باشد ولی تا به حال آنها را از کسی نپرسیدیم.
برای شروع بیاید ببینیم:
مجموعه چیست؟ آیا مجموعه مانند یک کیسه در ریاضیات است که هر چیز را می‌توانیم در آن قرار دهیم؟ آیا هر گردایه ای از اشیا چه اشیای ریاضی چه غیر ریاضی را که ما در یکجا جمع کنیم تشکیل یک مجموعه میدهند؟
اگر در بحث شرکت کنید در ادامه بحث می‌توانیم چیزهای زیادی را بیاموزیم که تا به حال ممکن است با آنها برخورد نکرده باشید.
با تشکر
امتیاز: 0.00
شما باید یک عنوان و متن وارد کنید!
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از
صفحه قبلی
اقدام کنید.
در ابتدا باید بگویم که همان طور که میدانیم نظریه مجموعه ها توسط جورج کانتور در اواخر قرن نوزدهم ارایه گردید. اما در پاسخ به پرسش شما جواب این است که هرچیز با هم تشکیل مجموعه نمی دهند البته در ریاضیات .بلکه هر چیزی که همه اینها در خاصیت یا ویژگی یکسان با هم مشترک با شند تشکیل مجموعه خواهند داد.دوباره تاکید میکنم که در ریاضیات چنین است.
امتیاز: 0.00
شما باید یک عنوان و متن وارد کنید!
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از
صفحه قبلی
اقدام کنید.
با سلام:
بسیار خوشحالم که بحث در گرفت و می‌توانیم چیزهای زیادی یادبگیریم. اولاً از توضیحات خانم سلیم نژاد در مورد نظریه مجموعه ها تشکر میکنم می توانید توضیحات دیگر را در صفحه این بحث مشاهده کنیدو
خوب خانم سلیم نژاد فرمودند `بلکه هر چیزی که همه اینها در خاصیت یا ویژگی یکسان با هم مشترک با شند تشکیل مجموعه خواهند داد`.
البته این گفته تا حدی درست است اما واقعت این است که این گفته دقیق نمی باشد. شما گفتید هر چیز که با هم در یک خاصیت مشترک باشند تشکیل یک مجموعه می‌دهد. تا مدتها بعد از پیدایش نظریه مجموعه‌ها همه ریاضیدانان از جمله خود کانتو این نظر را داشتند. اما شرط داشتن ویژگی مشترک یک شرط لازم برای مجموعه بودن است و نه یک شرط کافی. اما چرا؟ ممکن است بپرسید یک مثال بیاورید یک اشیای خاصی در یک ویژگی مشترک باشند ولی این اشیا تشکیل مجموعه ندهند!
خوب به عنوان گام بعدی برای ادامه بحث روی این مطلب و مثال فکر کنید.
با سلام:
خوب من توقع داشتم جوابی برای سوال من پیدا بشود. اینکه آیا دسته‌ای از اشیا که دارای خاصیتی مشترک می‌باشند لزوماً تشکیل مجموعه میدهند یا نه؟
حالا من سعی یک مثال را بیان میکنم:
به عنوان مثال خاصیت « مجموعه بودن » را در نظر بگیرید. حالا آیا {x مجموعه باشد:A={x یک مجموعه است؟ یعنی آیا همه اشیایی که در خاصیت مجموعه بودن مشترک هستند یک مجموعه می‌باشند؟
هدف من از این سوال ایراد گرفتن از تعریف خانم سلیم نژاد نیست! اتفاقا ایشان بحث مهمی را مطرح کردند که پیگیری آن بسیار جالب است. سعی کنید یه این سوال پاسخ دهید تا بتوانیم ادامه بحث را پیگیری کنیم. اگر کمک کنید و بحث را ادامه دهید مطئن باشید مطالب بسیار مهمی از مجموعه ها خواهید آموخت.
با سلام:
اول از دوستانی که در بحث شرکت می‌کنند می‌خواهم که پاسخ های خود را بوسیله `پاسخ جدید` بفرستید و نه `پاسخ به این پست`.
در مورد سوال که خانم سلیم نژاد پاسخ دادند باید بگویم بله جواب ایشان درست است. دسته {x مجموعه باشد:A={x با وجود اینکه اشیای متعلق به آن یک در یک خاصیت مشترک هستند تشکیل یک مجموعه نمی دهد. اما شاید بپرسید چرا؟ مگر چه چیزی رخ می‌دهد؟ پاسخ به این سوال چندان مشکل نمی باشد. اساسا A مجموعهای خوشتعریف نمی باشد. قبل از اینکه مجموعه بودن A را بررسی کنیم مجموعه بودن دسته زیر را بررسی می‌کنیم.
مثال اول:
{x مجموعهای باشد که عضو خود نمی‌باشد:B={x
ممکن است این خاصیت تاحدی عجیب بنظر برسد ولی خوب در مورد هر مجموعه دلخواه ما می توانیم این سوال را از خود بپرسیم که آیا این مجموعه عضوی از خودش است یا نه و پاسخ طبیعتاً بلی یا خیر است. آیا مجموعه B یک مجموعه خوش تعریف است؟ به عبارت دیگر فرض مجموعه بودن B چه مشکلی را بوجود می‌آورد.
خوب اگر B یک مجموعه باشد باید بتوانیم خاصیت فوق را برای آن بررسی کنیم و به این سوال که آیا B عضو خودش است یا نه پاسخ دهیم. طبیعتا دو حالت رخ می‌دهد:
اگر B عضو خودش باشد در این صورت، B واجد شرط مجموعه B است پس B عضو خودش نیست! که این نتاقض است.
اگر B عضو خودش باشد در این صورت، B واجد شرط مجموعه B نمی‌باشد و در نقیض آن صدق می‌کند پس B عضوی از خودش است! که این تناقض است.
خوب پس در هرحال هر نوع تلاش برای پاسخ به این سوال به تناقض منجر می‌شود ولذا این مجموعه خوش تعریف نمی‌باشد.
حالا به دسته {x مجموعه باشد:A={x باز می‌گردیم. همانطور که خانم سلیم نژاد گفتند این همان مجموعه همه مجموعه‌ها است که وجود ندارد. برای اثبات عدم وجود چنین مجموعهای از برهان خلف کمک می‌گیریم.
فرض کنید {x مجموعه باشد:A={x مجموعه همه مجموعه‌ها باشد. عناصری را از A که در `خاصیت عضو خود نبودن` صدق می‌کنند در نظر بگیرید: {x عضو خود نباشد:B={x in A. در این صورت B هم یک زیرمجموعه A خواهد بود و به هرحال یک محموعه است. پس با توجه به تعریف A باید B عضوی از A باشد. اما اگر B عضوی از A باشد دو حالت رخ می‌دهد. B یا عضوی از خودش است که همانند مثال اولی که بررسی کردیم به تناقض می‌رسیم ویا B عضوی از خودش نمی‌باشد که در این صورت بازهم به تناقض می‌رسیم. پس مجموعه A شامل B نمی‌تواند باشد که این با تعریف A در تناقض است.
پس مجموعه همه مجموعه ها وجود ندارد. حالا در گامی بالاتر اصلا فرض کنید مجموعه A مجموعه ای دلخواه باشد. حالا مجموعه {x عضو خود نباشد:B={x in A را تشکیل دهید. مشابه استدلال قبلی B عضوی از A نمی‌تواند باشد.(چرا؟). پس A هرچه باشد چیزی هست که در A موجود نباشد یا به قول ریاضیدان بزرگ قرن بیستم هالموس :
هیچ چیز شامل همه چیز نمی‌باشد
خوب از این اولین مرحله بحث نتیجه می‌گیریم که هر چیز را نمی‌توان یک مجموعه گفت و در ساختن مجموعه‌ها باید از یک اصولی پیروی کرد. اما رایضیدانان باری اینکه از این اشتباهات در نظریه مجموعه ها رخ ندهد برای مجموعه‌ها یک سری اصول موضوع تعریف می‌کنند و برپایه این اصول مجموعه‌های جدید را می سازند. به این ترتیب معیار مجموعه بودن یک شی این است که از این اصول نتیجه شود. حالا در ادامه بحث می خواهیم به این اصول بپرازیم. در این قسنت مجموعه ها همانند نقطه و خط به عنوان شی تعریف نشده می‌پذیرم و سعی می‌کنیم توجه خود را به این نکته ماطوف کنیم که با این شی ریاضی چه کارهایی می توانیم انجام دهیم.
حالا برای بررسی اولین اصل موضوع باید این سوال را پاسخ دهیم که وجه تمایز دو مجموعه در چیست؟ چه موقع دو مجموعه با هم فرق دارند و چه موقع یکسانند؟ روی این مطلب فکر کنید و به سوال جواب دهید.
با تشکر
امتیاز: 0.00
شما باید یک عنوان و متن وارد کنید!
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از
صفحه قبلی
اقدام کنید.
چه موقع دو مجموعه با هم فرق دارند و چه موقع یکسانند؟
با یک مثال به این سوال پاسخ میدهیم واگرAمجموعه جوابهای معادله xبه توان دو منهای شش xبهعلاوه 8مساوی صفرباشد وBمجموعه اعداد صحیح زوج بین 1و5 در این صورت مجموعه های فوق یکی هستند بنابراین روشن است که دو مجموعه برابرند اگر اعضایشان یکی باشد.این معیار ظاهرا ساده نتایج جالب توجهی دارد.شما در باره این نتایج صحبت کنید.ممنون
امتیاز: 0.00
شما باید یک عنوان و متن وارد کنید!
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از
صفحه قبلی
اقدام کنید.
با سلام:
خوب ببنیم که چگونخ یک مجموعه شناخته می‌شود؟ روشن است که برای مشخص کردن یک مجموعه تنها کافی است اعضای آن مجموعه را مشخص کنیم و برای شناخت باشد عناصر آن را بشناسیم. پس وجه مشخصه هر مجموعه عناصر آن مجموعه است. پس مجموعه‌ها در اعضایشان باهم تفاوت داردند و این باعث ایجاد تفاوت بین آنها می‌شود.
خوب پس طبیعی است که دو مجموعه را زمانی مساوی بگوییم که اعضایشان با هم یکسان باشد. این مطلب اولین اصل موضوع از اصول موضوع نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها است که به آن اصل موضوع گسترش می‌گوییم. مطابق این اصل:
دو مجموعه مساویند هر‌گاه دارای عناصر یکسان باشند. به عبارت دیگر هر مجموعه با گسترش خود معین می‌شود.
اما این اصل را می‌توان با استفاده از زیرمجموعه بودن به صورت زیر نیز بیان کرد که بیانی کاربردی تر است:
دو مجموعه مساویند اگر و فقط اگر هریک زیرمجموعه دیگری باشد.
از این تعریف برای اثبات تساوی بین دو مجموعه استفاده می‌کنیم.
حالا به سراغ دومین اصل موضوع می‌رویم. در مورد اینکه چگونه می‌توانیم مجموعه‌های جدید را بسازیم فکر کنید. فرض کنید A مجموعه اعداد طبیعی باشد. در این صورت آیا گردایه اعداد طبیعی زوج تشکیل یک مجموعه می دهد؟ اگر جواب مثبت می‌دهید فکر می‌کنید چه چیزی پاسخ شما را تضمین می‌کند؟
امتیاز: 0.00
شما باید یک عنوان و متن وارد کنید!
برای پاسخ دادن به این ارسال باید از
صفحه قبلی
اقدام کنید.
با سلام:
پاسخ شما دقیق نیست! شما گفتید `مجموعه به عنوان هر تودهای از اشیا به نام عنا صر است که از لحاظ حسی یا فکری متمایز و معین باشند. ` اما این تعریف دقیق نیست و نمی‌توان به آن استناد کرد. قبلا نمونه‌هایی مثلا مجموعه همهع مجموعه‌ها را بحث کردیم. دیدیم که مثلا {x مجموعه باشد:A={x به بیان شما یک توده از اشیا است که متمایزاند ولی A تشکیل یک مجموعه نمی‌دهد.
توجه داشته باشید که تعاریفی که از مجموعه ارائه می‌شوند در حقیقت یک توصیف ناقص هستند ولذا نمی‌توان استدلال ریاضی را بر پایه آنها بیان کرد. همچنین شما نوشتید: خوب وقتی ما پذیرفته ایم که Aمجموعه است بنابراین هر عضو زیر مجموعه ان نیز می تواندبه تنهایی تشکیل مجموعه دهد.
واقعاً چرا؟ برای این مسئله چه تضمینی وجود دارد؟ از کجا بدانیم یک شی مجموعه است یا نه؟ مثلاً فرض کنید A و B دو مجموعه باشد. آیا {AوB} یک مجموعه است؟ فکر نمی‌کنید که برای تضمین درستی و محکم کردن این استدلال ها به اصول موضوعه‌ای نیاز داریم؟ در این باره فکر کنید.
با تشکر
امتیاز: 0.00
وزارت آموزش و پرورش > سازمان پژوهش و برنامه‌ريزی آموزشی
شبکه ملی مدارس ایران رشد
ارسال ها: 244
با سلام:
شما باید یک عنوان و متن وارد کنید!