نابرابری مثلثی




این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا‌ ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.


نابرابری مثلثی

در بخشهای قبل قدر مطلق عدد مختلط ، را چنین تعریف کردیم

و به چند ویژگی ساده قدرمطلق اشاره کردیم: اکنون نابرابری مثلثی را که مهم است اثبات می‌کنیم

قضیه1. ( نابرابری مثلثی ).

به ازای جمیع مقادیر،

برهان.
img/daneshnameh_up/7/77/mathm0037aa.JPG

چون و هر دو نامنفی اند خواهیم داشت

برای اثبات نابرابری دیگر باید توجه کرد که

از اینجا نتیجه می‌شود که

با تعویض نقشهای خواهیم داشت.

اکنون حالت تساوی را در نابرابری مثلثی در نظر می‌گیریم. حالت یا بدیهی است. از این رو حالتی را در نظر می گیریم که . با مراجعه به برهان بالا ملاحظه می‌کنیم که تساوی هنگامی به دست می‌آید که

اما یک عدد مختلط فقط و فقط وقتی در تساوی صدق می‌کند که عدد حقیقی نامنفی باشد. پس نامساوی فوق فقط و فقط هنگامی به تساوی بدل می‌شود که

چون فرض کردیم، از تقسیم طرفین این تساوی بر ، خواهیم داشت.
گفته های خود را خلاصه کنیم،‌ تساوی فقط و فقط هنگامی برقرار است که مگر اینکه یا یا . به عبارت دیگر یکی از دو مقدار باید دارای این ویژگی باشد که مضرب مثبتی از دیگری باشد. یک برهان دیگر از این حکم را در انتهای بخش نمایش قطبی اعداد مختلط،‌ خواهیم آورد.

پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/mathematics/content/pdf/0057.pdf




تعداد بازدید ها: 61056