الگوریتم تقسیم



فرض کنید a و b دو عدد صحیح باشند و b مخالف صفر باشد. در این صورت اعداد صحیح و یکتایی مانند q و r وجود دارند که a = bq + r؛ r را باقیمانده تقسیم a بر b می‌نامند.

می‌دانیم عددی زوج است که بر 2 بخش‌پذیر باشد،‌و عددی که بر 2 بخش‌پذیر نباشد فرد است. بنابر الگوریتم تقسیم هر عدد صحیح را می‌توان به شکل 2q+r نوشت، که در آن . بنابراین یا r = 0 یا r = 1 . به این ترتیب هر عدد زوج به شکل 2q و هر عدد فرد به شکل 2q + 1 است.

مساله. ثابت کنید مربع هر عدد فرد به شکل 8k + 1 است.
راه‌حل: فرض کنید a عددی فرد باشد. در این صورت عددی صحیح مانند t‌ وجود دارد که a = 2t + 1. در نتیجه

از طرف دیگر، چون از هر دو عدد صحیح متوالی حتماً یکی زوج است، .بنابراین .. در نتیجه عددی صحیح مانند k وجود دارد که 4t(t + 1) = 8k. بنابراین .

همچنین ببینید


منابع
  • "نظریه اعداد" / تالیف رویا بهشتی زواره ،‌ مریم میرزاخانی ؛‌ ویراستار ارشک حمیدی._ تهران : فاطمی، 1378.



تعداد بازدید ها: 48249