گروه دوری









گروه را یک گروه دوری می نامند هر گاه توسط یک عنصر خودش تولید شود.


مولد گروه دوری

فرض کنیم یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند گروه را پدید آورد ، می نویسیم و را مولد گروه می‌نامیم.
  • مولد هر گروه لزوما منحصر به فرد نیست.
  • در گروه عدد مولد است که
  • اگر گروه ضربی باشد و مولد باشد ، آنگاه
  • اگر گروه جمعی باشد و مولد باشد ، آنگاه

قضیه‌ها

1. هر گروه دوری جابجایی است.

اثبات:
فرض می‌کنیم گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه . بنابراین هر عضو به صورت توانی از است . حال فرض می‌کنیم عناصر دلخواه را داریم. در نتیجه:

لذا:

پس گروه جابجایی است.

تذکر:
عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال گروه چهارتایی کلاین ، ، گروه جابجایی است اما دوری نیست.

2. هر زیرگروه یک گروه دوری ، دوری است.

اثبات:
فرض می‌کنیم یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند وجود دارد که .یعنی هر عنصری از به صورت توانی از است.
حال فرض می‌کنیم یک زیرگروه دلخواهی از باشد. نشان می‌دهیم دوری است:
اما چون بنابراین هر عضو نیز به صورت توانی از است. بنا براین یک عدد طبیعی مانند وجود دارد که .
فرض می‌کنیم کوچکترین عدد طبیعی باشد که . با فرض ثابت می‌کنیم توسط تولید می‌شود:
حال فرض می‌کنیم عنصر دلخواهی از باشد. بنابراین می‌توان در نظر گرفت که . طبق الگوریتم تقسیم داریم:

در نتیجه:

چون کوچکترین عدد طبیعی است که و، بنابراین عدد طبیعی نیست. پس برای فقط اتنخاب ممکن است . پس:

که به این معنا است که دوری است و مولد آن است.

همچنین ببینید


پیوندهای خارجی
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group




تعداد بازدید ها: 27147