|
دید کلی
اندیشه درست درباره هر دانشی ، از روی هم ریختن آگاهی‌های پراکنده‌ای که درباره آن وجود دارد به دست نمی‌آید، ولو این آگاهی‌ها خیلی هم زیاد باشد. برای این منظور لازم است دید درستی درباره دانش بطور کلی داشت و ماهیت دانشی را که بررسی می‌کنیم درک کرد. هدف این بخش هم این است که درباره ریاضیات یک اندیشه کلی و درست به دست دهد. برای این هدف لازم نیست وارد بررسی مفصل نظریه‌های جدیدی ریاضی بشویم، زیرا تاریخ این دانش و ریاضیات مقدماتی ، به اندازه کافی بنیان‌های آن را در دسترس ما قرار می‌دهد.ویژگیهای مهم ریاضیات
حتی با آشنایی خیلی سطحی هم می‌توان ویژگیهای بنیانی ریاضیات را مشاهده کرد. این ویژگی‌ها چنین‌اند:انتزاعی بودن
انتزاعی بودن ، حتی در حساب ساده هم دیده می‌شود. با عددهای مجرد را به کار می‌بریم، بدون این که هر بار به بستگی آنها با چیزهای مشخص توجه کنیم. در هندسه جدول ضرب را به روش انتزاعی یاد می گیریم، جدولی که عددها را به طور کلی در هم ضرب می کند، نه عده بچه‌ها را در عده سیبها و یا عده سیبها را در بهای هر سیب و غیره.در هندسه هم‌چنین است: خط راست بررسی می‌شود و نه نخی که محکم کشیده شده باشد و نیز در مفهوم خط هندسی ، هرگونه ویژگی دیگری جز وجود امتداد ، از آن کنار گذاشته می‌شود. مفهوم کلی درباره شکل هندسی به این ترتیب به دست می‌آید که شیء واقعی را از همه ویژگی‌هایی که دارد، بجز شکل فضایی و اندازه‌های آن جدا کنیم.
اینگونه انتزاع‌ها ، ویژه همه بخش‌های ریاضیات است و دو مفهوم عدد درست و شکل هندسی ، نخستین و ساده ترین آنها را تشکیل می‌دهد. پس از این دو مفهوم ساده ، انتزاع‌های فراوان دیگری قرار دارد که به سختی می‌توان آنها را شرح داد، زیرا به آن درجه از انتزاع می‌رسد که عددهای مختلط ، تابع‌ها ، دیفرانسیل‌ها ، فونکسیون‌ها ، فضاهای n بعدی و حتی بی‌نهایت بعدی و غیره را به وجود می‌آورد. این مفهوم‌ها از نظر انتزاعی بودن ، هر یک در مرحله بالاتری نسبت به دیگری قرار دارد و به چنان پایه‌ای از انتزاع رسیده‌اند که بنظر می‌رسد هر گونه بستگی با زندگی را از دست داده‌اند، تا جایی که به نظر آدم ساده و معمولی "چیزی درباره آنها نمی‌توان گفت بجز اینکه همه آنها نامفهوم‌اند".
دقت منطقی و قانع کننده
استدلال ریاضی ، دارای آن چنان دقتی است که برای هر کس که آن را بفهمد، مسلم و قانع کننده است. حتی از دوره دبیرستان هم دیده می‌شود. خود واقعیت‌های ریاضی هم انکار ناپذیرند. بی‌جهت نیست که می‌گویند: "ثابت کردن مثل دو دو تا چهار تاست". در اینجا بویژه رابطه ریاضی
به عنوان حقیقی مسلم و انکارناپذیر به کار رفته است. ولی دقت ریاضیات هم مطابق نیست. ریاضیات پیش می‌رود و قانون‌های آن یک بار و برای همیشه منجمد نمی‌ماند. قانون‌های ریاضی تغییر می‌کند و می‌تواند به موضوع دانش‌های مختلف خدمت کند و خدمت هم می‌کند.
گسترش استثنایی و بی اندازه کاربرد ریاضیات
نخست ، همیشه و هر ساعت ؛ در تولید ، در زندگی و زندگی اجتماعی ، گسترده‌ترین و همه‌گیرترین مفهوم‌ها و نتیجه‌های ریاضی را بکار می‌بریم بدون این که درباره آنها فکر کنیم. به این ترتیب که وقتی حساب روزها و یا خرج زندگی را نگاه می‌داریم، از حساب و وقتی که رویه مربع را محاسبه می‌کنیم، از هندسه بهره می‌بریم. این نتیجه‌ها خیلی ساده‌اند، ولی یادآوری این مطلب مفید است که زنانی در دوره‌های باستان ، زمانی که ریاضیات تازه پدید می‌آمد ، اینها در ردیف بزرگترین پیشرفت ها به شمار می رفت.دوم ، صنعت امروز بدون وجود ریاضیات امکان پذیر نیست. بدون محاسبه‌های کم و بیش دشوار ، حتی یک پیشرفت فنی هم به انجام نمی‌رسد. ریاضیات در پیشبرد رشته‌های صنعت نقش بسیار مهم دارد.
سرانجام ، به تقریب همه دانش‌ها بطور کم و بیش اساسی از ریاضیات استفاده می‌کنند. قانون‌های "دانش‌های پایه" مکانیک ، نجوم ، فیزیک و تا اندازه زیادی شیمی بطور معمول بوسیله فرمول و دستور) بیان می‌شود و نظریه‌های آنها زمانی پیشرفت می‌کند که از دستگاههای ریاضی بطور گسترده‌ای استفاده شود. بدون ریاضیات ، پیشرفت این دانش‌ها ممکن نیست و بهمین دلیل است که نیازهای مکانیک ، اخترشناسی و فیزیک در پیشرفت ریاضیات همیشه اثری قطعی و مستقیم داشته است. در دیگر دانش‌ها نقش ریاضیات کمتر است ولی در آنجاها هم کاربرد زیاد پیدا می‌کند. البته روش ریاضی را نمی‌توان، همان‌طور که در فیزیک به کار می‌رود. در پدیده‌های پیچیده‌ای چون زیست‌شناسی و جامعه‌شناسی بکاربرد. ولی به هر صورت ، ریاضیات به تقریب در همه دانش‌ها ، از مکانیک گرفته تا اقتصاد به کار می‌رود.
چند نمونه بسیار درخشان کاربرد ریاضیات را در "دانش‌های پایه" و صنعت
یکی از دورترین سیاره‌های منظومه خورشیدی ، یعنی نپتون ، در سال 1846 بر اساس محاسبه‌های ریاضی کشف شده آدامس و لوژیه ، ضمن بررسی بی‌نظمی‌های حرکت اورانوس ، به این نتیجه رسیدند که این بی‌نظمی‌ها در اثر کشش سیاره دیگری به وجود آمده است. لوژیه بر اساس قانون‌های مکانیک و قانون جاذبه جای این سیاره را به کمک محاسبه پیدا کرد و رصد کننده‌ای، که لوژیه این مطلب را به او گزارش داده بود، سیاره را در همان محل با دوربین مشاهده کرد. این کشف نه تنها پیروزی مکانیک و اخترشناسی و بویژه دستگاه کوپرنیک بود، بلکه پیروزی محاسبه‌های ریاضی هم به شمار می‌رفت.نمونه دیگری که کمتر از نمونه اول مهم نیست، کشف موج‌های الکترومغناطیسی است. ماکسول ، فیزیکدان انگلیسی ، ضمن عمومیت‌دادن قانون‌های پدیده‌های الکترومغناطیس ، که در اثر تجربه بدست آمده بود، آنها را بصورت معادله‌هایی بیان کرد. از روی این معادله‌ها و با محاسبه خالص ریاضی نتیجه گرفت که باید موج‌های الکترومغناطیسی ، که با سرعت نور منتشر می‌شود، وجود داشته باشد.