همریختی







همومورفیسم:
فرض کنید و دو گروه باشند و یک تابع باشد . را یک همومورفیسم می نامیم ، اگر :

هستۀ :
مجموعه را که با نمایش می دهیم ، هسته می نامیم.
قضیه :
فرض کنید یک همومورفیسم است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
1 . اگر ، آنگاه مجموعه زیرگروه است.
2 . اگر ، آنگاه مجموعه زیرگروه است.
3 . اگر ، آنگاه
4 . زیرگروه نرمال و زیرگروه نرمال است.
5 . اگر پوشا و باشد ، آنگاه
اثبات:
1 . میدانیم .زیرا لذا برای هر ثابت میکنیم :
اما :

بنابراین :

2 . می دانیم . زیرا و بنابراین و در نتیجه
اما بدیهی است
حال فرض می کنیم دلخواه باشند ، در این صورت ، آنگاه :

بنابراین و در نتیجه
3 . فرض می کنیم عناصر دلخواه باشند . ثابت می کنیم :

که در این صورت خواهد شد.
چون لذا که یک همومورفیسم است .
از اینکه ، عنصر دلخواه است ، نتیجه میشود است. چون لذا طبق تعریف :

4 . طبق 2 و3 بدیهی است .
5 . برای هر کافیست نشان دهیم :

که در این صورت خواهد شد.
اما چون پوشا است ، بنابراین برای ، عنصری مانند وجود دارد که . با توجه به اینکه ، در نتیجه خواهد شد . پس . یعنی :

قضیه :
فرض کنید یک همو مورفیسم است . آنگاه یک به یک است ، اگر و فقط اگر که عضو خنثی است .
اثبات:
ابتدا فرض می کنیم یک همومورفیسم یک به یک ( مونومورفیسم) است و عنصر دلخواه و عنصر خنثی باشد .لذا :

اما یک به یک است ، لذا :

حال فرض می کنیم وبرای داشته باشیم . آنگاه :

یعنی یک به یک است.
قضیه اساسی هموموفیسم :
فرض کنید دو گروه ضربی و یک همومورفیسم باشد ، آنگاه وهمچنین .
اثبات :
ابتدا را در نظر می گیریم.
فرض میکنیم با ضابطۀ زیر مفروض باشد . ثابت می کنیم ، ایزومورفیسم است :

اما خوشتعریف است . چرا که :

بنابراین با توجه به همومورفیسم بودن داریم :

اما همومورفیسم نیز می باشد . زیرا :

اکنون به بررسی خاصیت یک به یک بودن می پردازیم:

حال نشان میدهیم پوشا نیز می باشد:

با توجه به مطالب بالا ، یک ایزومورفیسم است و .




تعداد بازدید ها: 17397