|
این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید. |
تابع و حد
مقدمه
بخش عمده ریاضیات نوین حول دو مفهوم تابع و حد متمرکز شده است. این مفهومها را در این فصل به طور منظم و اصولی تحلیل می‌کنیم.عبارتی چون
تا وقتی که مقداری به
نسبت داده نشود، هیچ مقدار عددی مشخص ندارد. گوییم مقدار این عبارت یک تابع از مقداراست و می‌نویسیم
مثلاً اگر
، آنگاه
؛ پس 
. به همین نحو، می‌توانیم مقدار
را با جانشانی مستقیم به ازای هر عدد صحیح، کسری، گنگ، یا حتی مختلط به دست آوریم.
تعداد عددهای اول کوچکتر از
، تابع 
از عدد صحیح است. وقتی مقداری به داده شود، مقدار معین می‌شود حتی اگر هیچ عبارت جبری برای محاسبه آن در دست نباشد. مساحت مثلث، تابعی از طولهای سه ضلع آن است؛ با تغییرطولهای سه ضلع، مساحت تغییر می‌کند و به محض اینکه مقدارهای مشخصی به این طولها نسبت داده شود، مساحت معین می‌گردد. اگر صفحه‌ای در معرض یک تبدیل تصویری یا توپولوژیک قرار گیرد، مختصات هر نقطه صفحه پس از تبدیل، به مختصات اولیه آن نقطه بستگی دارند یعنی توابعی از آنها هستند. حجم گاز موجود در یک سیلندر، تابعی از دما و فشار وارد بر پیستون است. فشار جو که به وسیله بالن اندازه‌گیری می‌شود تابعی از ارتفاع بالن از سطح دریاست. بر همه پدیده‌های تناوبی ) دوره‌ای( مانند جزر و مد، ارتعاشات تاری که ضربه‌ای بر آن نواخته شده، گسیل امواج نور از یک رشته سیم گداخته، تابعهای مثلثاتی ساده
و
حاکم‌اند.
در نظر لایب‌نیتس ( 1646 – 1716) که نخستین بار کلمه تابع
را به کار برد و به طور کلی در نظر ریاضیدانان قرن هیجدهم، مفهوم رابطه تابعی کم و بیش معادن بود با وجود فرمول ریاضی ساده‌ای که ماهیت رابطه را به دقت بیان کند. بعدها معلوم شد که این ایده برای برآوردن نیازهای فیزیک ریاضی خیلی محدود است و مفهوم تابع و مفهوم وابسته حد، در طی فرآیند طولانی، توضیح و تعمیمهای بسیاری به خود دید که در این فصل به شرح آنها می‌پردازیم.