تابع ثابت


تابع ثابت:
تابع را تابع ثابت می گوییم هر گاه برد آن یک مجموعه تک عضوی باشد. به عبارت دیگر تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را تنها به یک مقدار ثابت متناظر می کند.
پس ضابطه تابع ثابت f از مجموعه A در مجموعه B را می توان به این صورت نوشت که در آن c مقداری ثابت و همان برد تابع f است.
به عنوان مثال تابع یک تابع ثابت است که هر عضو از دامنه خود(مجموعه اعداد حقیقی) را به عدد ثابت 2 متناظر می کند و عدد دو همان برد تابع است.
نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع ثابت را نشان می دهد:
تصویر

مشاهده می شود این تابع هر عضو از دامنه(A) خود را به یک مقدار ثابت c متناظر می کند.
به عبارت دقیق تر تابع فوق یک تابع ثابت از مجموعه A به مجموعه تک عضوی {c} است که می توان این مطلب را اینگونه نوشت:
تابع با ضابطه
  • به دلیل اینکه در حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولا با توابع حقیقی و اعداد حقیقی کار می کنیم تابع ثابت معمولا به این صورت تعریف می شود:
تابع با ضابطه را تابعی ثابت می گوییم. این تابع هر عدد حقیقی را به یک مقدار ثابت چون c متناظر می کند.
نمودار تابع یک تابع ثابت همواره یک خط موازی محور X ها است. به عنوان مثال نمودار تابع ثابت به این صورت است:
تصویر

  • بررسی ویژگی های توابع ثابت:

  • توابع ثابت توابعی غیر یک به یک می باشند.
برهان: تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را به C متناظر می کند پس: که این نشان می دهد تابع ثابت یک به یک نمی باشد چرا که دو زوج مرتب با مولفه اول متمایز و با مولفه دوم یکسان در آن یافت می شود.

  • توابع ثابت معکوس پذیر نمی باشند.
برهان: می دانیم شرط لازم و کافی برای اینکه تابعی معکوش پذیر باشد این است که یک به یک باشد. حال آنکه تابع ثابت یک به یک نمی باشد. پس معکوس پذیر هم نمی باشد. به عبارت دیگر عمل معکوس یک تابع ثابت دیگر یک تابع نمی باشد.

  • تابع ثابت تابعی پوشا است.
برهان: تابع ثابت را در نظر بگیرید. برای اثبات پوشا بودن باید نشان داد:

حال در تابع ثابت داریم:
که این نشان می دهد برای هر عضو از برد یعنی C یک عضو از دامنه چون x وجود دارد که x به C متناظر شود یا به عبارتی که این دلیل بر پوشا بودن f است.

  • تابع ثابت زوج می باشند به استثنای تابع که هم زوج و هم فرد است.
برهان: تابع ثابت را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است. لذا شرط اولیه زوج یا فرد بودن تابع یعنی متقارن بودن دامنه را دارا است.
پس تابع مذکور زوج است.
حال تابع را در نظر بگیرید. داریم:

همچنین می توان نوشت:

پس تابع مذکور هم در شرط زوج بودن و هم در شرط فرد بودن تابع صدق می کند پس هم زوج و هم فرد است.


همچنین ببینید:
رابطه
مفهوم تابع
ضابطه تابع
تابع چند ضابطه ای
دامنه توابع
برد توابع
تابع همانی
تابع علامت
تابع دیریکله
توابع زوج و فرد
تساوی دو تابع
اعمال جبری روی توابع
تابع یک به یک
تابع پوشا
تابع دو سویی
ترکیب توابع
تابع وارون
تابع یکنوا
تابع متناوب
توابع مثلثاتی
توابع وارون مثلثاتی
توابع هموگرافیک
توابع نمایی
توابع لگاریتمی
تابع جز صحیح
مفهوم دنباله
توابع چند جمله ای
توابع هایپربولیک
نمودار تابع
توابع پله‌ای
توابع حقیقی
توابع مختلط
توابع پارامتری
توابع دو متغیره
توابع پیوسته
توابع تحلیلی
توابع گسسته
مشتق توابع
تابع اولیه
حساب دیفرانسیل و انتگرال


تعداد بازدید ها: 58644