منو
 کاربر Online
346 کاربر online
تاریخچه ی: کاربردهای هندسی و فیزیکی انتگرال معین

کاربردهای هندسی و فیزیکی ((انتگرال معین))

__1) محاسبه مساحت سطوح در مختصات قائم:__
* اگر تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} در بازه بسته ، بزرگتر یا مساوی صفر باشد، در این صورت مساحت زیر منحنی تابع {TEX()} {y=f(x)} {TEX} برابر است با انتگرال تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} :

*اگر تابع {TEX()} {f(x)} {TEX} در همان بازه کوچکتر یا مساوی صفر باشد آنگاه مساحت زیر منحنی برابر است با قرینه انتگرال تابع{TEX()} {f(x)} {TEX} :

انتگرال در تمام فاصله تفاضل مساحت بالا و پایین محور ox را به دست می دهد. برای پیداکردن مجموع مساحت های سطوح به معنی معمولی، باید مجموع قدر مطلق های ((انتگرال)) فواصل جزئی فوق الذکر را به دست آوریم.

__2) محاسبه سطح یک قطاع منحنی الخط در مختصات قطبی:__
فرض می کنیم {TEX()} {p=f(x)} {TEX} معادله یک خم در مختصات قطبی است، که در آن {TEX()} {f(x)} {TEX} یک تابع پیوسته است هنگامیکه α≤θ≤β می باسد. برای به دست آوردن مساخت قطاع محدود شده به وسیله خم{TEX()} {p=f(x)} {TEX} و شعاعهای حامل θ=α و θ=β به صورت زیر عمل می کنیم:

__3) محاسبه طول کمان یک خم:__
الف) طول کمان یک خم در مختصات قائم (کارتزین):
فرض می کنیم {TEX()} {f(x)} {TEX} معادله یک خم در ((مختصات قائم)) باشد. برای محاسبه طول کمان این گونه عمل می کنیم:

با به کاربردن این فرمول اخیر اغلب می توان ((مشتق)) کمان را نسبت به طول به دست آورد.

ب) طول کمان یک خم در ((مختصات قطبی)):
فرض می کنیم {TEX()} {p=f(x)} {TEX} معادله یک خم در مختصات قطبی باشد، که در آن ρ شعاع حامل و θ زاویه قطبی است. رابطه های بین مختصات قائم ومختصات قطبی چنین اند.

__X=f(θ)cosθ , Y=f(θ)sinθ__

این معادلات را می توان معادلات پارامتری خم اختیار کرد و با به کاربردن فرمول زیر می توان طول کمان خم را به دست آورد:

__4) محاسبه حجم یک جسم دوار:__
*فرض کنید f روی بازه از a تا b پیوسته و نامنفی باشد، اگر ناحیه زیر منحنی در این بازه بسته حول محور x دوران کند، حجم جسم دوار برابر است با:

اگر تابع f حول محور y دوران کند حجم جسم دوار برابر است با: انتگرال نسبت به محور y.

__5) محاسبه سطح یک جسم دوار:__
رویه دوار حاصل از دوران خم {TEX()} {y=f(x)} {TEX} حول محور x ها را در نظر می گیریم. مساحت این رویه را به صورت زیر محاسبه می کنیم:

__6) محاسبه کار:__

اگر نیروی ثابت F (کیلوگرم) در تغییر مکانی برابر S (متر) عمل کند، کار انجام شده (بر حسب کیلوگرم متر) برابر است با حاصلضرب نیرو در تغییر مکان، یعنی

(1) W=F.S
اما وقتی نیرو ثابت نباشد، مثلا در مواقعی که یک فنررا می کشیم یا فشار می دهیم، نمی توانیم کار انجام شده را مستقیما از رابطه (1) به دست آوریم. ولی اگر نیرو تابع پیوسته ای از S باشد، از رتابطه (1) می توان برای یافتن مقدار تقریبی کار انجام شده در یک تغییر مکان کوتاه، مثلا ∆S استفاده کرد و می توان به روش انتگرال گیری دستور (1) را برای یافتن مقدار کل کار انجام شده تعمیم داد.
فرض می کنیم جسمی روی خط مستقیمی تحت اثر نیروی متغیر و پیوسته {TEX()} {F(x)} {TEX} حرکت می کند و از نقطه x=a به نقطه x=b می رود. می خواهیم مقدار کار انجام شده توسط نیروی {TEX()} {f(x)} {TEX} را در این تغییر مکان حساب کنیم.

*کار لازم برای تخلیه یک مخزن: کار لازم برای تخلیه کردن مایعی به حجم V و وزن مخصوص w از درون یک مخزن و رساندن آن به ارتفاع h از سطح اولیه مایع از رابطه زیر به دست می آید:


*قانون هوک: اگر فنری به طول x بیش از طول طبیعی خود کشیده شود، با نیرویی مساوی kx، به عقب کشیده می شود، که در آن k ثابتی است که به جنس و طول فنر بستگی دارد. قانون هوک، زمانی که فنر به اندازه x فشرده شود نیز برقرار است.
قضیه) اگر F برآیند همه نیروهای وارد بر متحرکی به جرم m باشد و امتداد F ثابت بماند، آنگاه، مقدار کار انجام شده توسط نیروی F بر آن متحرک، اعم از اینکه نیروی F ثابت باشد یا متغیر، برابر با تغییر انرژی جنبشی آن متحرک است.
برای اثبات این قضیه وسایل لازم عبارتند از رابطه کار، تعریف انرژی جنبشی، قانون دوم نیوتن در رابطه V=ds/dt

یعنی، مقدار کار انجام شده توسط F برابر با انرژی جنبشی در b منهای انرژی جنبشی در a است.

__7) محاسبه مساحت ناحیه بین دو منحنی:__
فرض می کنیم دو تابع f و g در بازه [a , b] پیوسته باشند و برای هر x در این بازه داشته باشیم f(x) ≥ g(x)، برای محاسبه مساحت محصور بین دو منحنی به این صورت عمل می کنیم:

__8) محاسبه مساحت پیموده شده توسط یک متحرک:__
متحرکی با سرعت V=f(t) در فاصله [a , b] علاوه بر پیوسته بودن مثبت نیز باشد. یعنی جسم تنها در یک جهت حرکت کند و هرگز به عقب برنگردد. اگر S موضع متحرک در لحظه t باشد، پس مسافت پیموده شده توسط متحرک به این صورت به دست می آید:

__S|ab=F(b)-F(a)__

هرگاه سرعت در بازه باز (a , b) تغییر علامت بدهد، انتگرال {TEX()} {f(t)} {TEX} فقط مقدار حاصلجمع جبری تغییر S را به دست خواهد داد. در این حالت فواصلی را که به جلو و عقب پیموده می شوند می توان حذف کرد. اگر بخواهیم مقدار واقعی کل مسافت پیموده شده را بیابیم باید انتگرال قدرمطلق سرعت را پیدا کنیم. برای محاسبه این انتگرال باید آن را در روی قسمتهایی که V مثبت و یا منفی است. به طور جداگانه حساب و سپس قدرمطلق نتیجه های حاصل را با هم جمع کنیم.

__9) محاسبه مقدار میانگین یک تابع:__

از مفهوم مقدار میانگین در نظریه های اقتصادی برای بررسی میانگین موجودی روزانه استفاده می شود. اگر {TEX()} {I(x)} {TEX} تعداد رادیوها یا کفشها یا هر کالای دیگری باشد که کارخانه ای در روز x در اختیار دارد، آنگاه

را میانگین موجودی روزانه آن کالا در مدت a≤x≤b می نامند. هزینه های محل انبارکردن، آب و برق و گاز و تلفن، بیمه، و نگه داری، بخش عمده ای از هزینه های انبارداری است، و موجودی روزانه کارخانه می تواند نقش مهمی در تعیین این هزینه ها داشته باشد. همچنین از مفهوم مقدار میانگین در محاسبه ((ولتاژ)) و جریان موثر در مدارهای الکتریکی استفاده می کنیم.

__10) گشتاور و مرکز جرم:__
در تحلیل ((سازه)) ها و سیستمهای مکانیکی در مهندسی و فیزیک، غالبا جرم آنها را چنان در نظر می گیرند که گویی در یک نقطه متمرکزند. این نقطه را مرکز جرم می نامندو رفتار سیاره ای که دور خورشید می گردد، رفتار یک جرم نقطه ای است که حول جرم نقطه ای دیگر می گردد. وقتی که صفحه ای تخت را روی نوک انگشتان به حالت تعادل در می آوریم، نوک انگشت در مرکز جرم صفحه قرار می گیرد. از ((انتگرال)) می توان برای محاسبه گشتاورها و مرکز جرم استفادهع کرد. اگر My، Mx و m به ترتیب گشتاور جرم ورقه D نسبت به محور y، ((گشتاور جرم)) این ورقه نسبت به محور x و جرم کل ورقه باشد، آنگاه



!مباحث مرتبط با عنوان:
*((مختصات قطبی))
*((طول))
*((حجم))
*((مساحت))
*((کار))
*((قضیه مقدار میانگین))
*((گشتاورها))
*((مرکز جرم))
!منابع
*ریاضیات عمومی- تالیف: دکتر بیژن شمس- انتشارات علوی- 1367.
*ریاضی عمومی (1)- تالیف: لیدا فرخو- انتشارات دانشگاه پیام نور.
*حساب دیفرانسیل وانتگرال وهندسه تحلیلی- تالیف: جرج توماس، راس فینی- ترجمه: مهدی بهزاد، سیامک کاظمی، علی کافی- جلد اول- مرکز نشر دانشگاهی- تهران- 1375.

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 یکشنبه 02 مهر 1385 [09:38 ]   2   حسین خادم      جاری 
 دوشنبه 27 شهریور 1385 [19:29 ]   1   علی هادی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..