منو
 کاربر Online
799 کاربر online
تاریخچه ی: تابع متناوب

!تعریف تابع متناوب
تابعی که در طول زمان تکرار می‌شود، ((تابع متناوب)) می‌گویند. که این منحنی به صورت موج سینوسی یا کسینوسی است یعنی می‌تواند در فواصل زمانی معین تکرار گردند. به صورت نادقیق تابعی از اعداد حقیقی متناوب نامیده می‌شود، در صورتی که مقادیر آن در فواصل معین تکرار شوند.
تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y متناوب است اگر عددی حقیقی و غیر صفر مانند m باشد بطوری که:
*برای هر x از دامنه x+m ، f نیز عضوی از دامنه f باشد.
*برای هر x از دامنه {TEX()} {f\left(x+m\right)} {TEX}={TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}
با توجه به رابطه 1 تعریف فوق ، به سادگی دیده می‌شود که دامنه تعریف هر تابع متناوب باید بی‌کران باشد. به عبارت دیگر همه توابعی که دارای دامنه محدود هستند نامتناوب نیز می‌باشند. که در آن عدد m یک دوره تناوب تابع متناوب f نامیده می‌شود.
!تعریف دوره تناوب اصلی
در تابع متناوب {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y عدد حقیقی غیر صفر m که برای هر x از دامنه تابع، ={TEX()} {f\left(x+m\right)} {TEX}{TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} یک دوره تناوب تابع و کوچکترین مقدار مثبت m (در صورت وجود) ((دوره تناوب اصلی)) نامیده می‌شود.
*با توجه به دو تعریف بالا به روشنی دیده می‌شود که هر مضرب صحیح غیر صفر از هر دوره تناوب یک تابع متناوب نیز می‌تواند دوره تناوبی از آن تابع باشد.
!مثالهایی از تابع متناوب
*در تابع =x-{TEX()} {left [ x \right ]} {TEX}{TEX()} {f\left(x\right)} {TEX} هر عدد صحیح غیر صفر یک دوره تناوب و عدد 1 دوره تناوب اصلی می‌باشد.
*تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=c که در آن c عدد حقیقی ثابت می‌باشد، دارای دوره تناوب اصلی نیست ولی هر عدد حقیقی غیر صفر می‌تواند دوره تناوب آن باشد.
*تابع f: R→R را که توسط {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=1 اگر t گویا باشد و {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=0 اگر t اصم باشد را در نظر می‌گیریم. به ازای هر عدد حقیقی t و هر عدد گویای m داریم:
{TEX()} {f\left(t+m\right)} {TEX}={TEX()} {f\left(t\right)} {TEX}
بنابراین f متناوب است و هر عدد گویا یک دوره تناوب آن می‌باشد.
!ویژگیهای تابع متناوب
*اگر تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y متناوب باشد. برای هر m حقیقی غیر صفر توابع {TEX()} {f\left(mx\right)} {TEX}=y و {TEX()} {f\left(x+m\right)} {TEX}=y نیز متناوب خواهد بود و در صورتی که تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y دارای دوره تناوب اصلی برابر با T باشد، توابع {TEX()} {f\left(mx\right)} {TEX}=y و {TEX()} {f\left(m+x\right)} {TEX}=y دارای دوره تناوب اصلی به ترتیب برابر {TEX()} {\frac{T}{\left|m\right|}} {TEX} و T خواهند بود.
*اگر fو g دو تابع تابع متناوب با دوره‌های متناوب اصلی به ترتیب {TEX()} {T_1} {TEX} و {TEX()} {T_2} {TEX} باشند که {TEX()} {\frac{{TEX()} {T_1} {TEX}}{{TEX()} {T_2} {TEX}}} {TEX} عددی گویا است آنگاه f+g تابعی متناوب خواهد بود. اگر {TEX()} {T_1} {TEX} و {TEX()} {T_2} {TEX} به ترتیب دوره‌های تناوبی برای توابع g , f باشند. هر مضرب طبیعی از {TEX()} {T_1} {TEX} دوره تناوبی برای f و هر مضرب طبیعی از {TEX()} {T_2} {TEX} دوره تناوبی برای g خواهد بود. حال اگر {TEX()} {\frac{{TEX()} {T_1} {TEX}}{{TEX()} {T_2} {TEX}}} {TEX} عددی اصم باشد، هیچ مضرب طبیعی از {TEX()} {T_1} {TEX} با هیچ مضرب طبیعی از {TEX()} {T_2} {TEX} برابر نخواهد شد بنابراین تابع f+g دارای دوره تناوب نبوده و لذا متناوب نخواهد شد.
*اگر تابع {TEX()} {f\left(x\right)} {TEX}=y برای هر m و n صحیح غیر صفر توابع {TEX()} {f\left(x\right)^m} {TEX}=y و {TEX()} {f\left(x\right)^\frac{1}{n}} {TEX}=yنیز متناوب خواهند بود.
*اگر f متناوب با دوره تناوب m باشد، آنگاه به ازای هر عدد حقیقی t و هر عدد صحیح n داریم:
{TEX()} {f\left(t+na\right)} {TEX}={TEX()} {f\left(t\right)} {TEX}
از اینرو مقدار یک تابع متناوب با دوره تناوب a روی هر فاصله با طول {TEX()} {\left|a\right|} {TEX} تکرار می‌گردند. یعنی اگر f تابعی متناوب با دوره تناوب aباشد، آنگاه f متناوب با دوره تناوب na به ازای هر عدد صحیح و غیر صفر نیز هست.
*دوره تناوب اصلی توابع سینوس و کسینوس مساوی با 2π است.
*توابع مثلثاتی
Tan={TEX()} {\frac{sin}{Cos}} {TEX}
CoT={TEX()} {\frac{Cos}{Sin}} {TEX}
sec={TEX()} {\frac{1}{Cos}} {TEX}
CSC={TEX()} {\frac{1}{Sin}} {TEX}
متناوب با دوره تناوب 2π هستند.
*دوره تناوب اصلی هر یک از توابع cot , tan برابر π است.
*دوره تناوب اصلی هر یک از توابع csc , sec برابر 2π است.
*دوره تناوب اصلی هر یک از توابع sec , csc برابر 2π است.

!مباحث مرتبط با عنوان
*((تابع متناوب))
*((حرکت متناوب))
*((دوره تناوب))
*((توابع مثلثاتی))



تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 27 شهریور 1385 [10:20 ]   3   فاطمه نقوی      جاری 
 یکشنبه 05 شهریور 1385 [13:58 ]   2   علی هادی      v  c  d  s 
 چهارشنبه 25 مرداد 1385 [10:15 ]   1   علی هادی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..