||V{maketoc}||
^@#16:
!یک‌ریختی گروه‌ها:
فرض کنید {TEX()}{(G,\circ),(G^\prime,*)}{TEX} دو گروه باشند و {TEX()}{\varphi }{TEX} تابعی از {TEX()}{G }{TEX} به {TEX()}{G^\prime }{TEX} باشد. {TEX()}{\varphi}{TEX} را یک یک‌ریختی نامند اگر و فقط اگر {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک و پوشا بوده و ضمناً شرط زیر برقرار باشد:
@@{TEX()}{\forall x,y \in G : \varphi (x \circ y)= \varphi (x)* \varphi (y)}{TEX}@@
اگر {TEX()}{\varphi}{TEX} یک‌ریختی باشد ، گوییم {TEX()}{G,G^\prime }{TEX} یکریخت هستند و آن را با نماد {TEX()}{G \cong G^\prime }{TEX} نمایش می‌دهیم .
!قضیه 1.
اگر{TEX()}{\varphi : G \rightarrow G^\prime}{TEX} یک یک‌ریختی باشد و {TEX()}{e }{TEX} همانی {TEX()}{G }{TEX} و {TEX()}{e^\prime }{TEX} همانی {TEX()}{G^\prime}{TEX} باشد ،آنگاه :
2 . {TEX()}{\varphi (e)=e^\prime}{TEX}
1 . {TEX()}{\forall a \in G : \varphi (a^{-1})=(\varphi (a))^{-1}}{TEX}

__اثبات:__
@@1 . {TEX()}{\varphi (e)*e^\prime= \varphi (e)= \varphi(e \circ e)= \varphi (e)* \varphi (e) \Rightarrow \varphi (e)=e^\prime } {TEX}@@
2 .می‌دانیم:
@@ {TEX()}{e^\prime= \varphi (e)= \varphi (a \circa^{-1})= \varphi (a)* \varphi (a^{-1})}{TEX}@@
بنابراین:
@@{TEX()}{(\varphi (a))^{-1}*e^\prime= (\varphi (a))^{-1}* \varphi (a)* \varphi (a^{-1}) = e^\prime * \varphi (a^{-1}) \Rightarrow ( \varphi (a))^{-1}= \varphi (a^{-1}) }{TEX}@@
!!نتیجه:
اگر {TEX()}{n \in Z }{TEX} و {TEX()}{x \in G}{TEX} آنگاه:
@@{TEX()}{\varphi (x^n)= (\varphi (x))^n}{TEX}@@
---
!قضیه 2.
هر ((گروه ضربی)) دوری نامتناهی با گروه {TEX()}{(Z,+) }{TEX} یک‌ریخت است.

__اثبات:__
فرض می‌کنیم {TEX()}{(G, \cdot)}{TEX} ((گروه دوری)) نامتناهی ، تولید شده توسط {TEX()}{x }{TEX} باشد . لذا:
@@{TEX()}{G=<x>={x^n| n \in Z} }{TEX}@@
حال {TEX()}{\varphi : G \rightarrow Z}{TEX} را با ضابطه {TEX()}{\forall x^n \in G : \varphi (x^n)=n}{TEX} تعریف می‌کنیم .
نشان می‌دهیم {TEX()}{\varphi}{TEX} یک یک‌ریختی است:
{TEX()}{\varphi}{TEX} خوش‌تعریف (تابع ) است.چرا که:
@@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G ; x^n=x^m \Rightarrow x^{n-m}=1 \Rightarrow n-m=0 \Rightarrow n=m \Rightarrow \varphi (x^n)= \varphi (x^m) }{TEX}@@
{TEX()}{\varphi }{TEX} ((یک به یک)) نیز می باشد. زیرا:
@@{TEX()}{\forall x^n, x^m \in G ; \varphi (x^n)= \varphi (x^m) \Rightarrow n=m \Rightarrow x^n=x^m }{TEX}@@
اما {TEX()}{\varphi }{TEX} ((پوشا)) نیز هست.چرا که:
@@{TEX()}{\forall n \in Z \exists x^n \in G ; \varphi (x^n)=n }{TEX}@@
و در پایان، خاصیت ذکر شده در تعریف که معروف به هم‌ریختی است را دارا می باشد. چون:
@@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G : \varphi (x^n \cdot x^m )= \varphi (x^{n+m})=n+m= \varphi (x^n)+ \varphi (x^m)}{TEX}@@
بنابراین:
@@{TEX()}{G \cong Z}{TEX}@@
---
!قضیه 3.
هر ((گروه دوری)) ضربی متناهی با مرتبه دلخواه {TEX()}{n }{TEX} با {TEX()}{(Z_n , \oplus) }{TEX} یک‌ریخت است.

__اثبات:__
فرض می‌کنیم {TEX()}{(G,\cdot)}{TEX} و {TEX()}{G }{TEX} گروه تولید شده توسط {TEX()}{x}{TEX}باشد و {TEX()} {|G|=n} {TEX}. بنابراین:
@@{TEX()}{ G={1,x,x^2, \ldots x^{n-1}} }{TEX}@@
{TEX()}{\varphi }{TEX} را به صورت زیر بیان می‌نماییم :
@@{TEX()}{\varphi : Z \rightarrow G ; \forall i \in Z_n : \varphi (i)=x^i}{TEX} @@
نشان می‌دهیم {TEX()}{\varphi }{TEX} یک یک‌ریختی است :
{TEX()}{\varphi}{TEX}خوش‌تعریف است .زیرا:
@@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; i=j \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow \varphi (i)= \varphi (j) }{TEX}@@
{TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک نیز هست . چرا که:
@@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; \varphi (i)=\varphi (j) , 0 \le i,j \le n-1 \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow i=j}{TEX}@@
اما {TEX()}{\varphi}{TEX} پوشا نیز هست.چون:
@@{TEX()}{\forall x \in G \exists i \in Z_n ; \varphi (i)=x^i }{TEX}@@
اکنون به بررسی خاصیت ‌((همریختی|هم‌ریختی)) بودن {TEX()}{\varphi }{TEX} می‌پردازیم :
@@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n : \varphi (i+j)=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j)}{TEX}@@
زیرا {TEX()}{0 \le i,j \le n-1}{TEX}.بنابراین طبق قضیه ((الگوریتم تقسیم ))، اعداد صحیح مانند {TEX()}{r,q}{TEX} یافت می‌شوند ، به طوریکه:
@@{TEX()}{i+j=nq+r}{TEX}@@
بنابراین:
@@{TEX()}{x^{i+j}=x^{nq+r} \Rightarrow x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i \oplus j}=x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i+j} \cdot (x^n)^{-q}=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j) }{TEX}@@
لذا {TEX()}{G \cong Z_n}{TEX}
!!نکته:
اگر {TEX()}{\varphi : G \rightarrow H}{TEX} یک یک‌ریختی باشد ، آنگاه {TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}.

__اثبات :__
می‌دانیم {TEX()}{\emptyset \neq \varphi(G) \subseteq H}{TEX}.زیرا {TEX()}{\varphi (e) \in \varphi (G) }{TEX} لذا برای هر {TEX()} {\varphi (x) , \varphi (y) } {TEX} ثابت می‌کنیم {TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1} \in \varphi (G)}{TEX}
اما :
@@{TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1}= \varphi (x) \cdot \varphi (y^{-1})= \varphi (x \cdot y^{-1}) \in \varphi G }{TEX}@@
بنابراین :
@@{TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}@@
---
!قضیه 4.
گروه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm} }{TEX} یک‌ریخت است ، اگر و تنها اگر {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}.

__اثبات:__
ابتدا فرض می‌کنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} و ثابت می‌کنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}:
چون {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} دوری است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} ((گروه دوری)) است و {TEX()}{(1,1)}{TEX} ((گروه دوری|مولد)) آن می باشد .
اما شرط آنکه {TEX()}{(1,1) }{TEX} تمام اعضای {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند ، آن است که از ((مرتبه گروه|مرتبه)) {TEX()}{nm }{TEX} باشد و زمانی مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} برابر {TEX()}{nm}{TEX} است که {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}.
زیرا اگر {TEX()}{(n,m) \neq 1}{TEX} آنگاه {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)}(1,1)}{TEX} نمی‌تواند تمام اعضا {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند . زیرا {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)} < nm}{TEX}
حال فرض می‌کنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX} و ثابت می‌کنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} :
در صورتیکه {TEX()}{(n,m)=1 }{TEX} باشند ،آنگاه {TEX()}{o(1,1)=nm}{TEX} . چون مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} با مرتبه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} برابر است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m }{TEX} توسط {TEX()}{(1,1) }{TEX} تولید شده و دوری خواهد بود و طبق قضیۀ فوق ، گروه دوری از مرتبه {TEX()}{nm}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} یک‌ریخت است .
---
!همچنین ببینید
*(( قضیه اول یکریختی گروه‌ها|قضیه اول یک‌ریختی گروه‌ها))
*((همریختی|قضیه اساسی هم‌ریختی گروه‌ها))
*((گروه همدسته‌ها))

#@^