منو
 کاربر Online
737 کاربر online
تاریخچه ی: یکریختی

تفاوت با نگارش: 3

Lines: 1-89Lines: 1-123
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
 +{DYNAMICMENU()}
 +__واژه‌نامه__
 +*((واژگان جبر))
 +__مقالات مرتبط__
 +*((معادله))
 +*((استقرا))
 +*((اتحاد))
 +*((تجزیه))
 +*((ماتریس))
 +*((گروه))
 +*((حلقه))
 +*((میدان))
 +*((فضای برداری))
 +__کتابهای مرتبط__
 +*((کتابهای جبر))
 +__[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__
 +__سایتهای مرتبط__
 +*سایتهای داخلی
 +**[http://www.tebyan.net/|تبیان]
 +**[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی]
 +*سایتهای خارجی
 +**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر]
 +**[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری]
 +**[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر]
 +**[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری]
 +**[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری]
 +__گالری تصویر__
 +*[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم]
 +body=
 +|~|
 +{DYNAMICMENU}
 ^@#16: ^@#16:
 !یک‌ریختی گروه‌ها: !یک‌ریختی گروه‌ها:
 فرض کنید {TEX()}{(G,\circ),(G^\prime,*)}{TEX} دو گروه باشند و {TEX()}{\varphi }{TEX} تابعی از {TEX()}{G }{TEX} به {TEX()}{G^\prime }{TEX} باشد. {TEX()}{\varphi}{TEX} را یک یک‌ریختی نامند اگر و فقط اگر {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک و پوشا بوده و ضمناً شرط زیر برقرار باشد: فرض کنید {TEX()}{(G,\circ),(G^\prime,*)}{TEX} دو گروه باشند و {TEX()}{\varphi }{TEX} تابعی از {TEX()}{G }{TEX} به {TEX()}{G^\prime }{TEX} باشد. {TEX()}{\varphi}{TEX} را یک یک‌ریختی نامند اگر و فقط اگر {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک و پوشا بوده و ضمناً شرط زیر برقرار باشد:
 @@{TEX()}{\forall x,y \in G : \varphi (x \circ y)= \varphi (x)* \varphi (y)}{TEX}@@ @@{TEX()}{\forall x,y \in G : \varphi (x \circ y)= \varphi (x)* \varphi (y)}{TEX}@@
 اگر {TEX()}{\varphi}{TEX} یک‌ریختی باشد ، گوییم {TEX()}{G,G^\prime }{TEX} یکریخت هستند و آن را با نماد {TEX()}{G \cong G^\prime }{TEX} نمایش می‌دهیم . اگر {TEX()}{\varphi}{TEX} یک‌ریختی باشد ، گوییم {TEX()}{G,G^\prime }{TEX} یکریخت هستند و آن را با نماد {TEX()}{G \cong G^\prime }{TEX} نمایش می‌دهیم .
 !قضیه 1. !قضیه 1.
 اگر{TEX()}{\varphi : G \rightarrow G^\prime}{TEX} یک یک‌ریختی باشد و {TEX()}{e }{TEX} همانی {TEX()}{G }{TEX} و {TEX()}{e^\prime }{TEX} همانی {TEX()}{G^\prime}{TEX} باشد ،آنگاه : اگر{TEX()}{\varphi : G \rightarrow G^\prime}{TEX} یک یک‌ریختی باشد و {TEX()}{e }{TEX} همانی {TEX()}{G }{TEX} و {TEX()}{e^\prime }{TEX} همانی {TEX()}{G^\prime}{TEX} باشد ،آنگاه :
 2 . {TEX()}{\varphi (e)=e^\prime}{TEX} 2 . {TEX()}{\varphi (e)=e^\prime}{TEX}
 1 . {TEX()}{\forall a \in G : \varphi (a^{-1})=(\varphi (a))^{-1}}{TEX}  1 . {TEX()}{\forall a \in G : \varphi (a^{-1})=(\varphi (a))^{-1}}{TEX}
 __اثبات:__ __اثبات:__
 @@1 . {TEX()}{\varphi (e)*e^\prime= \varphi (e)= \varphi(e \circ e)= \varphi (e)* \varphi (e) \Rightarrow \varphi (e)=e^\prime } {TEX}@@ @@1 . {TEX()}{\varphi (e)*e^\prime= \varphi (e)= \varphi(e \circ e)= \varphi (e)* \varphi (e) \Rightarrow \varphi (e)=e^\prime } {TEX}@@
 2 .می‌دانیم: 2 .می‌دانیم:
 @@ {TEX()}{e^\prime= \varphi (e)= \varphi (a \circa^{-1})= \varphi (a)* \varphi (a^{-1})}{TEX}@@ @@ {TEX()}{e^\prime= \varphi (e)= \varphi (a \circa^{-1})= \varphi (a)* \varphi (a^{-1})}{TEX}@@
 بنابراین: بنابراین:
 @@{TEX()}{(\varphi (a))^{-1}*e^\prime= (\varphi (a))^{-1}* \varphi (a)* \varphi (a^{-1}) = e^\prime * \varphi (a^{-1}) \Rightarrow ( \varphi (a))^{-1}= \varphi (a^{-1}) }{TEX}@@ @@{TEX()}{(\varphi (a))^{-1}*e^\prime= (\varphi (a))^{-1}* \varphi (a)* \varphi (a^{-1}) = e^\prime * \varphi (a^{-1}) \Rightarrow ( \varphi (a))^{-1}= \varphi (a^{-1}) }{TEX}@@
 !!نتیجه: !!نتیجه:
 اگر {TEX()}{n \in Z }{TEX} و {TEX()}{x \in G}{TEX} آنگاه: اگر {TEX()}{n \in Z }{TEX} و {TEX()}{x \in G}{TEX} آنگاه:
 @@{TEX()}{\varphi (x^n)= (\varphi (x))^n}{TEX}@@ @@{TEX()}{\varphi (x^n)= (\varphi (x))^n}{TEX}@@
 --- ---
 !قضیه 2. !قضیه 2.
 هر ((گروه ضربی)) دوری نامتناهی با گروه {TEX()}{(Z,+) }{TEX} یک‌ریخت است. هر ((گروه ضربی)) دوری نامتناهی با گروه {TEX()}{(Z,+) }{TEX} یک‌ریخت است.
 __اثبات:__ __اثبات:__
 فرض می‌کنیم {TEX()}{(G, \cdot)}{TEX} ((گروه دوری)) نامتناهی ، تولید شده توسط {TEX()}{x }{TEX} باشد . لذا: فرض می‌کنیم {TEX()}{(G, \cdot)}{TEX} ((گروه دوری)) نامتناهی ، تولید شده توسط {TEX()}{x }{TEX} باشد . لذا:
 @@{TEX()}{G=<x>={x^n| n \in Z} }{TEX}@@ @@{TEX()}{G=<x>={x^n| n \in Z} }{TEX}@@
 حال {TEX()}{\varphi : G \rightarrow Z}{TEX} را با ضابطه {TEX()}{\forall x^n \in G : \varphi (x^n)=n}{TEX} تعریف می‌کنیم . حال {TEX()}{\varphi : G \rightarrow Z}{TEX} را با ضابطه {TEX()}{\forall x^n \in G : \varphi (x^n)=n}{TEX} تعریف می‌کنیم .
 نشان می‌دهیم {TEX()}{\varphi}{TEX} یک یک‌ریختی است: نشان می‌دهیم {TEX()}{\varphi}{TEX} یک یک‌ریختی است:
 {TEX()}{\varphi}{TEX} خوش‌تعریف (تابع ) است.چرا که: {TEX()}{\varphi}{TEX} خوش‌تعریف (تابع ) است.چرا که:
 @@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G ; x^n=x^m \Rightarrow x^{n-m}=1 \Rightarrow n-m=0 \Rightarrow n=m \Rightarrow \varphi (x^n)= \varphi (x^m) }{TEX}@@ @@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G ; x^n=x^m \Rightarrow x^{n-m}=1 \Rightarrow n-m=0 \Rightarrow n=m \Rightarrow \varphi (x^n)= \varphi (x^m) }{TEX}@@
 {TEX()}{\varphi }{TEX} ((یک به یک)) نیز می باشد. زیرا: {TEX()}{\varphi }{TEX} ((یک به یک)) نیز می باشد. زیرا:
 @@{TEX()}{\forall x^n, x^m \in G ; \varphi (x^n)= \varphi (x^m) \Rightarrow n=m \Rightarrow x^n=x^m }{TEX}@@ @@{TEX()}{\forall x^n, x^m \in G ; \varphi (x^n)= \varphi (x^m) \Rightarrow n=m \Rightarrow x^n=x^m }{TEX}@@
 اما {TEX()}{\varphi }{TEX} ((پوشا)) نیز هست.چرا که: اما {TEX()}{\varphi }{TEX} ((پوشا)) نیز هست.چرا که:
 @@{TEX()}{\forall n \in Z \exists x^n \in G ; \varphi (x^n)=n }{TEX}@@  @@{TEX()}{\forall n \in Z \exists x^n \in G ; \varphi (x^n)=n }{TEX}@@
 و در پایان، خاصیت ذکر شده در تعریف که معروف به هم‌ریختی است را دارا می باشد. چون: و در پایان، خاصیت ذکر شده در تعریف که معروف به هم‌ریختی است را دارا می باشد. چون:
 @@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G : \varphi (x^n \cdot x^m )= \varphi (x^{n+m})=n+m= \varphi (x^n)+ \varphi (x^m)}{TEX}@@ @@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G : \varphi (x^n \cdot x^m )= \varphi (x^{n+m})=n+m= \varphi (x^n)+ \varphi (x^m)}{TEX}@@
 بنابراین: بنابراین:
 @@{TEX()}{G \cong Z}{TEX}@@ @@{TEX()}{G \cong Z}{TEX}@@
 --- ---
 !قضیه 3. !قضیه 3.
 هر ((گروه دوری)) ضربی متناهی با مرتبه دلخواه {TEX()}{n }{TEX} با {TEX()}{(Z_n , \oplus) }{TEX} یک‌ریخت است. هر ((گروه دوری)) ضربی متناهی با مرتبه دلخواه {TEX()}{n }{TEX} با {TEX()}{(Z_n , \oplus) }{TEX} یک‌ریخت است.
 __اثبات:__ __اثبات:__
 فرض می‌کنیم {TEX()}{(G,\cdot)}{TEX} و {TEX()}{G }{TEX} گروه تولید شده توسط {TEX()}{x}{TEX}باشد و {TEX()} {|G|=n} {TEX}. بنابراین: فرض می‌کنیم {TEX()}{(G,\cdot)}{TEX} و {TEX()}{G }{TEX} گروه تولید شده توسط {TEX()}{x}{TEX}باشد و {TEX()} {|G|=n} {TEX}. بنابراین:
 @@{TEX()}{ G={1,x,x^2, \ldots x^{n-1}} }{TEX}@@ @@{TEX()}{ G={1,x,x^2, \ldots x^{n-1}} }{TEX}@@
 {TEX()}{\varphi }{TEX} را به صورت زیر بیان می‌نماییم : {TEX()}{\varphi }{TEX} را به صورت زیر بیان می‌نماییم :
 @@{TEX()}{\varphi : Z \rightarrow G ; \forall i \in Z_n : \varphi (i)=x^i}{TEX} @@ @@{TEX()}{\varphi : Z \rightarrow G ; \forall i \in Z_n : \varphi (i)=x^i}{TEX} @@
 نشان می‌دهیم {TEX()}{\varphi }{TEX} یک یک‌ریختی است : نشان می‌دهیم {TEX()}{\varphi }{TEX} یک یک‌ریختی است :
 {TEX()}{\varphi}{TEX}خوش‌تعریف است .زیرا: {TEX()}{\varphi}{TEX}خوش‌تعریف است .زیرا:
 @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; i=j \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow \varphi (i)= \varphi (j) }{TEX}@@ @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; i=j \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow \varphi (i)= \varphi (j) }{TEX}@@
 {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک نیز هست . چرا که: {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک نیز هست . چرا که:
 @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; \varphi (i)=\varphi (j) , 0 \le i,j \le n-1 \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow i=j}{TEX}@@ @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; \varphi (i)=\varphi (j) , 0 \le i,j \le n-1 \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow i=j}{TEX}@@
 اما {TEX()}{\varphi}{TEX} پوشا نیز هست.چون: اما {TEX()}{\varphi}{TEX} پوشا نیز هست.چون:
 @@{TEX()}{\forall x \in G \exists i \in Z_n ; \varphi (i)=x^i }{TEX}@@ @@{TEX()}{\forall x \in G \exists i \in Z_n ; \varphi (i)=x^i }{TEX}@@
 اکنون به بررسی خاصیت ‌((همریختی|هم‌ریختی)) بودن {TEX()}{\varphi }{TEX} می‌پردازیم : اکنون به بررسی خاصیت ‌((همریختی|هم‌ریختی)) بودن {TEX()}{\varphi }{TEX} می‌پردازیم :
 @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n : \varphi (i+j)=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j)}{TEX}@@ @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n : \varphi (i+j)=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j)}{TEX}@@
 زیرا {TEX()}{0 \le i,j \le n-1}{TEX}.بنابراین طبق قضیه ((الگوریتم تقسیم ))، اعداد صحیح مانند {TEX()}{r,q}{TEX} یافت می‌شوند ، به طوریکه: زیرا {TEX()}{0 \le i,j \le n-1}{TEX}.بنابراین طبق قضیه ((الگوریتم تقسیم ))، اعداد صحیح مانند {TEX()}{r,q}{TEX} یافت می‌شوند ، به طوریکه:
 @@{TEX()}{i+j=nq+r}{TEX}@@ @@{TEX()}{i+j=nq+r}{TEX}@@
 بنابراین: بنابراین:
 @@{TEX()}{x^{i+j}=x^{nq+r} \Rightarrow x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i \oplus j}=x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i+j} \cdot (x^n)^{-q}=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j) }{TEX}@@ @@{TEX()}{x^{i+j}=x^{nq+r} \Rightarrow x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i \oplus j}=x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i+j} \cdot (x^n)^{-q}=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j) }{TEX}@@
 لذا {TEX()}{G \cong Z_n}{TEX} لذا {TEX()}{G \cong Z_n}{TEX}
 !!نکته: !!نکته:
 اگر {TEX()}{\varphi : G \rightarrow H}{TEX} یک یک‌ریختی باشد ، آنگاه {TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}. اگر {TEX()}{\varphi : G \rightarrow H}{TEX} یک یک‌ریختی باشد ، آنگاه {TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}.
 __اثبات :__ __اثبات :__
 می‌دانیم {TEX()}{\emptyset \neq \varphi(G) \subseteq H}{TEX}.زیرا {TEX()}{\varphi (e) \in \varphi (G) }{TEX} لذا برای هر {TEX()} {\varphi (x) , \varphi (y) } {TEX} ثابت می‌کنیم {TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1} \in \varphi (G)}{TEX} می‌دانیم {TEX()}{\emptyset \neq \varphi(G) \subseteq H}{TEX}.زیرا {TEX()}{\varphi (e) \in \varphi (G) }{TEX} لذا برای هر {TEX()} {\varphi (x) , \varphi (y) } {TEX} ثابت می‌کنیم {TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1} \in \varphi (G)}{TEX}
 اما : اما :
 @@{TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1}= \varphi (x) \cdot \varphi (y^{-1})= \varphi (x \cdot y^{-1}) \in \varphi G }{TEX}@@ @@{TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1}= \varphi (x) \cdot \varphi (y^{-1})= \varphi (x \cdot y^{-1}) \in \varphi G }{TEX}@@
 بنابراین : بنابراین :
 @@{TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}@@ @@{TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}@@
 --- ---
 !قضیه 4. !قضیه 4.
 گروه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm} }{TEX} یک‌ریخت است ، اگر و تنها اگر {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}. گروه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm} }{TEX} یک‌ریخت است ، اگر و تنها اگر {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}.
 __اثبات:__ __اثبات:__
 ابتدا فرض می‌کنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} و ثابت می‌کنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}: ابتدا فرض می‌کنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} و ثابت می‌کنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}:
 چون {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} دوری است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} ((گروه دوری)) است و {TEX()}{(1,1)}{TEX} ((گروه دوری|مولد)) آن می باشد . چون {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} دوری است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} ((گروه دوری)) است و {TEX()}{(1,1)}{TEX} ((گروه دوری|مولد)) آن می باشد .
 اما شرط آنکه {TEX()}{(1,1) }{TEX} تمام اعضای {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند ، آن است که از ((مرتبه گروه|مرتبه)) {TEX()}{nm }{TEX} باشد و زمانی مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} برابر {TEX()}{nm}{TEX} است که {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}. اما شرط آنکه {TEX()}{(1,1) }{TEX} تمام اعضای {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند ، آن است که از ((مرتبه گروه|مرتبه)) {TEX()}{nm }{TEX} باشد و زمانی مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} برابر {TEX()}{nm}{TEX} است که {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}.
 زیرا اگر {TEX()}{(n,m) \neq 1}{TEX} آنگاه {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)}(1,1)}{TEX} نمی‌تواند تمام اعضا {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند . زیرا {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)} < nm}{TEX} زیرا اگر {TEX()}{(n,m) \neq 1}{TEX} آنگاه {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)}(1,1)}{TEX} نمی‌تواند تمام اعضا {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند . زیرا {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)} < nm}{TEX}
 حال فرض می‌کنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX} و ثابت می‌کنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} : حال فرض می‌کنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX} و ثابت می‌کنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} :
 در صورتیکه {TEX()}{(n,m)=1 }{TEX} باشند ،آنگاه {TEX()}{o(1,1)=nm}{TEX} . چون مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} با مرتبه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} برابر است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m }{TEX} توسط {TEX()}{(1,1) }{TEX} تولید شده و دوری خواهد بود و طبق قضیۀ فوق ، گروه دوری از مرتبه {TEX()}{nm}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} یک‌ریخت است . در صورتیکه {TEX()}{(n,m)=1 }{TEX} باشند ،آنگاه {TEX()}{o(1,1)=nm}{TEX} . چون مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} با مرتبه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} برابر است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m }{TEX} توسط {TEX()}{(1,1) }{TEX} تولید شده و دوری خواهد بود و طبق قضیۀ فوق ، گروه دوری از مرتبه {TEX()}{nm}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} یک‌ریخت است .
 --- ---
 !همچنین ببینید !همچنین ببینید
 *(( قضیه اول یکریختی گروه‌ها|قضیه اول یک‌ریختی گروه‌ها)) *(( قضیه اول یکریختی گروه‌ها|قضیه اول یک‌ریختی گروه‌ها))
 *((همریختی|قضیه اساسی هم‌ریختی گروه‌ها)) *((همریختی|قضیه اساسی هم‌ریختی گروه‌ها))
 *((گروه همدسته‌ها)) *((گروه همدسته‌ها))
 #@^ #@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [11:06 ]   4   علی هادی      جاری 
 یکشنبه 03 اردیبهشت 1385 [12:50 ]   3   زینب معزی      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:53 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:33 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..