تاریخچه ی:
یکریختی
تفاوت با نگارش: 3
| ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| + | {DYNAMICMENU()} |
| + | __واژهنامه__ |
| + | *((واژگان جبر)) |
| + | __مقالات مرتبط__ |
| + | *((معادله)) |
| + | *((استقرا)) |
| + | *((اتحاد)) |
| + | *((تجزیه)) |
| + | *((ماتریس)) |
| + | *((گروه)) |
| + | *((حلقه)) |
| + | *((میدان)) |
| + | *((فضای برداری)) |
| + | __کتابهای مرتبط__ |
| + | *((کتابهای جبر)) |
| + | __[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__ |
| + | __سایتهای مرتبط__ |
| + | *سایتهای داخلی |
| + | **[http://www.tebyan.net/|تبیان] |
| + | **[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی] |
| + | *سایتهای خارجی |
| + | **[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر] |
| + | **[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری] |
| + | **[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر] |
| + | **[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری] |
| + | **[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری] |
| + | __گالری تصویر__ |
| + | *[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم] |
| + | body= |
| + | |~| |
| + | {DYNAMICMENU} |
| ^@#16: | | ^@#16: |
| !یکریختی گروهها: | | !یکریختی گروهها: |
| فرض کنید {TEX()}{(G,\circ),(G^\prime,*)}{TEX} دو گروه باشند و {TEX()}{\varphi }{TEX} تابعی از {TEX()}{G }{TEX} به {TEX()}{G^\prime }{TEX} باشد. {TEX()}{\varphi}{TEX} را یک یکریختی نامند اگر و فقط اگر {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک و پوشا بوده و ضمناً شرط زیر برقرار باشد: | | فرض کنید {TEX()}{(G,\circ),(G^\prime,*)}{TEX} دو گروه باشند و {TEX()}{\varphi }{TEX} تابعی از {TEX()}{G }{TEX} به {TEX()}{G^\prime }{TEX} باشد. {TEX()}{\varphi}{TEX} را یک یکریختی نامند اگر و فقط اگر {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک و پوشا بوده و ضمناً شرط زیر برقرار باشد: |
| @@{TEX()}{\forall x,y \in G : \varphi (x \circ y)= \varphi (x)* \varphi (y)}{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall x,y \in G : \varphi (x \circ y)= \varphi (x)* \varphi (y)}{TEX}@@ |
| اگر {TEX()}{\varphi}{TEX} یکریختی باشد ، گوییم {TEX()}{G,G^\prime }{TEX} یکریخت هستند و آن را با نماد {TEX()}{G \cong G^\prime }{TEX} نمایش میدهیم . | | اگر {TEX()}{\varphi}{TEX} یکریختی باشد ، گوییم {TEX()}{G,G^\prime }{TEX} یکریخت هستند و آن را با نماد {TEX()}{G \cong G^\prime }{TEX} نمایش میدهیم . |
| !قضیه 1. | | !قضیه 1. |
| اگر{TEX()}{\varphi : G \rightarrow G^\prime}{TEX} یک یکریختی باشد و {TEX()}{e }{TEX} همانی {TEX()}{G }{TEX} و {TEX()}{e^\prime }{TEX} همانی {TEX()}{G^\prime}{TEX} باشد ،آنگاه : | | اگر{TEX()}{\varphi : G \rightarrow G^\prime}{TEX} یک یکریختی باشد و {TEX()}{e }{TEX} همانی {TEX()}{G }{TEX} و {TEX()}{e^\prime }{TEX} همانی {TEX()}{G^\prime}{TEX} باشد ،آنگاه : |
| 2 . {TEX()}{\varphi (e)=e^\prime}{TEX} | | 2 . {TEX()}{\varphi (e)=e^\prime}{TEX} |
| 1 . {TEX()}{\forall a \in G : \varphi (a^{-1})=(\varphi (a))^{-1}}{TEX} | | 1 . {TEX()}{\forall a \in G : \varphi (a^{-1})=(\varphi (a))^{-1}}{TEX} |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| @@1 . {TEX()}{\varphi (e)*e^\prime= \varphi (e)= \varphi(e \circ e)= \varphi (e)* \varphi (e) \Rightarrow \varphi (e)=e^\prime } {TEX}@@ | | @@1 . {TEX()}{\varphi (e)*e^\prime= \varphi (e)= \varphi(e \circ e)= \varphi (e)* \varphi (e) \Rightarrow \varphi (e)=e^\prime } {TEX}@@ |
| 2 .میدانیم: | | 2 .میدانیم: |
| @@ {TEX()}{e^\prime= \varphi (e)= \varphi (a \circa^{-1})= \varphi (a)* \varphi (a^{-1})}{TEX}@@ | | @@ {TEX()}{e^\prime= \varphi (e)= \varphi (a \circa^{-1})= \varphi (a)* \varphi (a^{-1})}{TEX}@@ |
| بنابراین: | | بنابراین: |
| @@{TEX()}{(\varphi (a))^{-1}*e^\prime= (\varphi (a))^{-1}* \varphi (a)* \varphi (a^{-1}) = e^\prime * \varphi (a^{-1}) \Rightarrow ( \varphi (a))^{-1}= \varphi (a^{-1}) }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{(\varphi (a))^{-1}*e^\prime= (\varphi (a))^{-1}* \varphi (a)* \varphi (a^{-1}) = e^\prime * \varphi (a^{-1}) \Rightarrow ( \varphi (a))^{-1}= \varphi (a^{-1}) }{TEX}@@ |
| !!نتیجه: | | !!نتیجه: |
| اگر {TEX()}{n \in Z }{TEX} و {TEX()}{x \in G}{TEX} آنگاه: | | اگر {TEX()}{n \in Z }{TEX} و {TEX()}{x \in G}{TEX} آنگاه: |
| @@{TEX()}{\varphi (x^n)= (\varphi (x))^n}{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\varphi (x^n)= (\varphi (x))^n}{TEX}@@ |
| --- | | --- |
| !قضیه 2. | | !قضیه 2. |
| هر ((گروه ضربی)) دوری نامتناهی با گروه {TEX()}{(Z,+) }{TEX} یکریخت است. | | هر ((گروه ضربی)) دوری نامتناهی با گروه {TEX()}{(Z,+) }{TEX} یکریخت است. |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| فرض میکنیم {TEX()}{(G, \cdot)}{TEX} ((گروه دوری)) نامتناهی ، تولید شده توسط {TEX()}{x }{TEX} باشد . لذا: | | فرض میکنیم {TEX()}{(G, \cdot)}{TEX} ((گروه دوری)) نامتناهی ، تولید شده توسط {TEX()}{x }{TEX} باشد . لذا: |
| @@{TEX()}{G=<x>={x^n| n \in Z} }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{G=<x>={x^n| n \in Z} }{TEX}@@ |
| حال {TEX()}{\varphi : G \rightarrow Z}{TEX} را با ضابطه {TEX()}{\forall x^n \in G : \varphi (x^n)=n}{TEX} تعریف میکنیم . | | حال {TEX()}{\varphi : G \rightarrow Z}{TEX} را با ضابطه {TEX()}{\forall x^n \in G : \varphi (x^n)=n}{TEX} تعریف میکنیم . |
| نشان میدهیم {TEX()}{\varphi}{TEX} یک یکریختی است: | | نشان میدهیم {TEX()}{\varphi}{TEX} یک یکریختی است: |
| {TEX()}{\varphi}{TEX} خوشتعریف (تابع ) است.چرا که: | | {TEX()}{\varphi}{TEX} خوشتعریف (تابع ) است.چرا که: |
| @@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G ; x^n=x^m \Rightarrow x^{n-m}=1 \Rightarrow n-m=0 \Rightarrow n=m \Rightarrow \varphi (x^n)= \varphi (x^m) }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G ; x^n=x^m \Rightarrow x^{n-m}=1 \Rightarrow n-m=0 \Rightarrow n=m \Rightarrow \varphi (x^n)= \varphi (x^m) }{TEX}@@ |
| {TEX()}{\varphi }{TEX} ((یک به یک)) نیز می باشد. زیرا: | | {TEX()}{\varphi }{TEX} ((یک به یک)) نیز می باشد. زیرا: |
| @@{TEX()}{\forall x^n, x^m \in G ; \varphi (x^n)= \varphi (x^m) \Rightarrow n=m \Rightarrow x^n=x^m }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall x^n, x^m \in G ; \varphi (x^n)= \varphi (x^m) \Rightarrow n=m \Rightarrow x^n=x^m }{TEX}@@ |
| اما {TEX()}{\varphi }{TEX} ((پوشا)) نیز هست.چرا که: | | اما {TEX()}{\varphi }{TEX} ((پوشا)) نیز هست.چرا که: |
| @@{TEX()}{\forall n \in Z \exists x^n \in G ; \varphi (x^n)=n }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall n \in Z \exists x^n \in G ; \varphi (x^n)=n }{TEX}@@ |
| و در پایان، خاصیت ذکر شده در تعریف که معروف به همریختی است را دارا می باشد. چون: | | و در پایان، خاصیت ذکر شده در تعریف که معروف به همریختی است را دارا می باشد. چون: |
| @@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G : \varphi (x^n \cdot x^m )= \varphi (x^{n+m})=n+m= \varphi (x^n)+ \varphi (x^m)}{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall x^n , x^m \in G : \varphi (x^n \cdot x^m )= \varphi (x^{n+m})=n+m= \varphi (x^n)+ \varphi (x^m)}{TEX}@@ |
| بنابراین: | | بنابراین: |
| @@{TEX()}{G \cong Z}{TEX}@@ | | @@{TEX()}{G \cong Z}{TEX}@@ |
| --- | | --- |
| !قضیه 3. | | !قضیه 3. |
| هر ((گروه دوری)) ضربی متناهی با مرتبه دلخواه {TEX()}{n }{TEX} با {TEX()}{(Z_n , \oplus) }{TEX} یکریخت است. | | هر ((گروه دوری)) ضربی متناهی با مرتبه دلخواه {TEX()}{n }{TEX} با {TEX()}{(Z_n , \oplus) }{TEX} یکریخت است. |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| فرض میکنیم {TEX()}{(G,\cdot)}{TEX} و {TEX()}{G }{TEX} گروه تولید شده توسط {TEX()}{x}{TEX}باشد و {TEX()} {|G|=n} {TEX}. بنابراین: | | فرض میکنیم {TEX()}{(G,\cdot)}{TEX} و {TEX()}{G }{TEX} گروه تولید شده توسط {TEX()}{x}{TEX}باشد و {TEX()} {|G|=n} {TEX}. بنابراین: |
| @@{TEX()}{ G={1,x,x^2, \ldots x^{n-1}} }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{ G={1,x,x^2, \ldots x^{n-1}} }{TEX}@@ |
| {TEX()}{\varphi }{TEX} را به صورت زیر بیان مینماییم : | | {TEX()}{\varphi }{TEX} را به صورت زیر بیان مینماییم : |
| @@{TEX()}{\varphi : Z \rightarrow G ; \forall i \in Z_n : \varphi (i)=x^i}{TEX} @@ | | @@{TEX()}{\varphi : Z \rightarrow G ; \forall i \in Z_n : \varphi (i)=x^i}{TEX} @@ |
| نشان میدهیم {TEX()}{\varphi }{TEX} یک یکریختی است : | | نشان میدهیم {TEX()}{\varphi }{TEX} یک یکریختی است : |
| {TEX()}{\varphi}{TEX}خوشتعریف است .زیرا: | | {TEX()}{\varphi}{TEX}خوشتعریف است .زیرا: |
| @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; i=j \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow \varphi (i)= \varphi (j) }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; i=j \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow \varphi (i)= \varphi (j) }{TEX}@@ |
| {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک نیز هست . چرا که: | | {TEX()}{\varphi }{TEX} یک به یک نیز هست . چرا که: |
| @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; \varphi (i)=\varphi (j) , 0 \le i,j \le n-1 \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow i=j}{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n ; \varphi (i)=\varphi (j) , 0 \le i,j \le n-1 \Rightarrow x^i=x^j \Rightarrow i=j}{TEX}@@ |
| اما {TEX()}{\varphi}{TEX} پوشا نیز هست.چون: | | اما {TEX()}{\varphi}{TEX} پوشا نیز هست.چون: |
| @@{TEX()}{\forall x \in G \exists i \in Z_n ; \varphi (i)=x^i }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall x \in G \exists i \in Z_n ; \varphi (i)=x^i }{TEX}@@ |
| اکنون به بررسی خاصیت ((همریختی|همریختی)) بودن {TEX()}{\varphi }{TEX} میپردازیم : | | اکنون به بررسی خاصیت ((همریختی|همریختی)) بودن {TEX()}{\varphi }{TEX} میپردازیم : |
| @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n : \varphi (i+j)=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j)}{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\forall i,j \in Z_n : \varphi (i+j)=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j)}{TEX}@@ |
| زیرا {TEX()}{0 \le i,j \le n-1}{TEX}.بنابراین طبق قضیه ((الگوریتم تقسیم ))، اعداد صحیح مانند {TEX()}{r,q}{TEX} یافت میشوند ، به طوریکه: | | زیرا {TEX()}{0 \le i,j \le n-1}{TEX}.بنابراین طبق قضیه ((الگوریتم تقسیم ))، اعداد صحیح مانند {TEX()}{r,q}{TEX} یافت میشوند ، به طوریکه: |
| @@{TEX()}{i+j=nq+r}{TEX}@@ | | @@{TEX()}{i+j=nq+r}{TEX}@@ |
| بنابراین: | | بنابراین: |
| @@{TEX()}{x^{i+j}=x^{nq+r} \Rightarrow x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i \oplus j}=x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i+j} \cdot (x^n)^{-q}=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j) }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{x^{i+j}=x^{nq+r} \Rightarrow x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i \oplus j}=x^r=x^{i+j-nq} \Rightarrow \varphi (i \oplus j)=x^{i+j} \cdot (x^n)^{-q}=x^{i+j}=x^i \cdot x^j=\varphi (i) \cdot \varphi (j) }{TEX}@@ |
| لذا {TEX()}{G \cong Z_n}{TEX} | | لذا {TEX()}{G \cong Z_n}{TEX} |
| !!نکته: | | !!نکته: |
| اگر {TEX()}{\varphi : G \rightarrow H}{TEX} یک یکریختی باشد ، آنگاه {TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}. | | اگر {TEX()}{\varphi : G \rightarrow H}{TEX} یک یکریختی باشد ، آنگاه {TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}. |
| __اثبات :__ | | __اثبات :__ |
| میدانیم {TEX()}{\emptyset \neq \varphi(G) \subseteq H}{TEX}.زیرا {TEX()}{\varphi (e) \in \varphi (G) }{TEX} لذا برای هر {TEX()} {\varphi (x) , \varphi (y) } {TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1} \in \varphi (G)}{TEX} | | میدانیم {TEX()}{\emptyset \neq \varphi(G) \subseteq H}{TEX}.زیرا {TEX()}{\varphi (e) \in \varphi (G) }{TEX} لذا برای هر {TEX()} {\varphi (x) , \varphi (y) } {TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1} \in \varphi (G)}{TEX} |
| اما : | | اما : |
| @@{TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1}= \varphi (x) \cdot \varphi (y^{-1})= \varphi (x \cdot y^{-1}) \in \varphi G }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\varphi (x) \cdot (\varphi (y))^{-1}= \varphi (x) \cdot \varphi (y^{-1})= \varphi (x \cdot y^{-1}) \in \varphi G }{TEX}@@ |
| بنابراین : | | بنابراین : |
| @@{TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}@@ | | @@{TEX()}{\varphi (G) \le H }{TEX}@@ |
| --- | | --- |
| !قضیه 4. | | !قضیه 4. |
| گروه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm} }{TEX} یکریخت است ، اگر و تنها اگر {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}. | | گروه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm} }{TEX} یکریخت است ، اگر و تنها اگر {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}. |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| ابتدا فرض میکنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} و ثابت میکنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}: | | ابتدا فرض میکنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} و ثابت میکنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}: |
| چون {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} دوری است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} ((گروه دوری)) است و {TEX()}{(1,1)}{TEX} ((گروه دوری|مولد)) آن می باشد . | | چون {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} دوری است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} ((گروه دوری)) است و {TEX()}{(1,1)}{TEX} ((گروه دوری|مولد)) آن می باشد . |
| اما شرط آنکه {TEX()}{(1,1) }{TEX} تمام اعضای {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند ، آن است که از ((مرتبه گروه|مرتبه)) {TEX()}{nm }{TEX} باشد و زمانی مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} برابر {TEX()}{nm}{TEX} است که {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}. | | اما شرط آنکه {TEX()}{(1,1) }{TEX} تمام اعضای {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند ، آن است که از ((مرتبه گروه|مرتبه)) {TEX()}{nm }{TEX} باشد و زمانی مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} برابر {TEX()}{nm}{TEX} است که {TEX()}{(n,m)=1}{TEX}. |
| زیرا اگر {TEX()}{(n,m) \neq 1}{TEX} آنگاه {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)}(1,1)}{TEX} نمیتواند تمام اعضا {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند . زیرا {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)} < nm}{TEX} | | زیرا اگر {TEX()}{(n,m) \neq 1}{TEX} آنگاه {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)}(1,1)}{TEX} نمیتواند تمام اعضا {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} را تولید کند . زیرا {TEX()}{\frac {nm}{(n,m)} < nm}{TEX} |
| حال فرض میکنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX} و ثابت میکنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} : | | حال فرض میکنیم {TEX()}{(n,m)=1}{TEX} و ثابت میکنیم {TEX()}{Z_n \times Z_m \cong Z_{nm}}{TEX} : |
| در صورتیکه {TEX()}{(n,m)=1 }{TEX} باشند ،آنگاه {TEX()}{o(1,1)=nm}{TEX} . چون مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} با مرتبه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} برابر است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m }{TEX} توسط {TEX()}{(1,1) }{TEX} تولید شده و دوری خواهد بود و طبق قضیۀ فوق ، گروه دوری از مرتبه {TEX()}{nm}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} یکریخت است . | | در صورتیکه {TEX()}{(n,m)=1 }{TEX} باشند ،آنگاه {TEX()}{o(1,1)=nm}{TEX} . چون مرتبه {TEX()}{(1,1)}{TEX} با مرتبه {TEX()}{Z_n \times Z_m}{TEX} برابر است ، پس {TEX()}{Z_n \times Z_m }{TEX} توسط {TEX()}{(1,1) }{TEX} تولید شده و دوری خواهد بود و طبق قضیۀ فوق ، گروه دوری از مرتبه {TEX()}{nm}{TEX} با {TEX()}{Z_{nm}}{TEX} یکریخت است . |
| --- | | --- |
| !همچنین ببینید | | !همچنین ببینید |
| *(( قضیه اول یکریختی گروهها|قضیه اول یکریختی گروهها)) | | *(( قضیه اول یکریختی گروهها|قضیه اول یکریختی گروهها)) |
| *((همریختی|قضیه اساسی همریختی گروهها)) | | *((همریختی|قضیه اساسی همریختی گروهها)) |
| *((گروه همدستهها)) | | *((گروه همدستهها)) |
| #@^ | | #@^ |