گروه همدسته ها:
اگر {TEX()} {G} {TEX}یک گروه و {TEX()} {a \in G} {TEX} و {TEX()} {H \le G} {TEX} باشند ،آنگاه مجموعه {TEX()} {aH} {TEX} را به صورت زیر تعریف می نماییم :
{TEX()} {aH={ah | h \in H}} {TEX}
{TEX()} {aH} {TEX} را همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} می نامیم و عضو {TEX()} {a} {TEX} را نماینده {TEX()} {aH} {TEX} گوییم . همچنین {TEX()} {Ha} {TEX} را همدستۀ راست {TEX()} {H} {TEX} نامیده و تعریف میکنیم :
{TEX()} {Ha ={ha | h \in H}} {TEX}
تذکر:
اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد و {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه {TEX()} {x+H={x+h | h \in H} {TEX} را همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} برای {TEX()} {x} {TEX} نامیده و همدسته راست {TEX()} {H} {TEX} نیز به صورت {TEX()} {H+x} {TEX} نشان داده می شود.
نکته :
1 . اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه همدستۀ چپ یا راست {TEX()} {H} {TEX} لزوماً زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} نیست.
2 . همدسته چپ و راست ، لزوماً برابر هم نمی باشند.
همدسته:
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {a \in G} {TEX} و {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {Ha=aH} {TEX} آنگاه {TEX()} {aH} {TEX} را یک همدسته {TEX()} {H} {TEX} می نامیم.
قضیه:
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {g_1,g_2} {TEX} دو عضو {TEX()} {G} {TEX} باشند. آنگاه {TEX()} {f_1 ,f_2 ,f_3} {TEX} توابعی دوسویی هستند ، به طوریکه :
{TEX()} {f_1 :g_1H \rightarrow H} {TEX}
{TEX()} {f_2 : g_1H \rightarrow g_2H} {TEX}
{TEX()} {f_3 : g_1H \rightarrow Hg_2} {TEX}
اثبات:
کافیست توابع مذکور را به ازای هر{TEX()} {h \in H} {TEX} با ضابطه های زیر تعریف کنیم :
{TEX()} {f_1(g_1h)=h} {TEX}
{TEX()} {f_2(g_1h)=g_2h} {TEX}
{TEX()} {f_3(g_1h)=hg_2} {TEX}
نتیجه:
با توجه به قضیه فوق ، هر گاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {H \le G} {TEX}باشد ، آنگاه :
{TEX()} {\forall g \in G : |H|=|gH|=|Hg|} {TEX}
قضیه:
اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {bH} {TEX} همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} باشد ، در صورتیکه {TEX()} {g \in bH} {TEX} آنگاه :
{TEX()} {gH=bH} {TEX}
اثبات:
ابتدا ثابت میکنیم{TEX()} {gH \subseteq bH} {TEX}:
{TEX()} {if g \in bH \Rightarrow \exist h \in H ; g=bh \Rightarrow \forall h_1 \in H : gh_1=bhh_1 \Rightarrow gh_1 \in bH \Rightarrow gH \subseteq bH} {TEX}
حال نشان میدهیم {TEX()} {bH \subseteq gH} {TEX} :
{TEX()} {if g \in bH \Rightarrow \exists h \in H ; g=bh & H \le G \Rightarrow gh^{-1}=b \Rightarrow \forall h_2 \in H : bh_2=gh^{-1}h_2 \Rightarrow bh_2 \in gh \Rightarrow bH \subseteq gH } {TEX}
بنابراین {TEX()} {bH=gH} {TEX}
نکته:
هر گاه {TEX()} {G} {TEX} گروه و {TEX()} {H \le G} {TEX} آنگاه {TEX()} {G=\bigcup_{\forall g \in G} gH} {TEX}.
اثبات:
چون {TEX()} {G \le G} {TEX} ، بنابراین یکی از {TEX()} {H} {TEX} ها نقش {TEX()} {G} {TEX} را دارد.لذا :
{TEX()} {G \subseteq \bigcup_{\forall g \in G} gH } {TEX}
اما برای هر {TEX()} {g \in G} {TEX} داریم :
{TEX()} {gH \subseteq G} {TEX}
بنابراین:
{TEX()} {\bigcup_{\forall g \in G} gH \subseteq G } {TEX}
پس :
{TEX()} {\bigcup_{\forall g \in G} gH = G } {TEX}
قضیه :
اگر {TEX()} {aH , bH} {TEX} دو همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} باشند که {TEX()} {H \le G} {TEX} ، در این صورت {TEX()} {aH=bH} {TEX} یا {TEX()} {aH \cup bH = \varnothing} {TEX}
نتیجه:
هر گاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {H} {TEX} زیرگروه آن باشد ، آنگاه مجموعۀ همدسته های چپ (راست) {TEX()} {H} {TEX} یک افراز {TEX()} {G} {TEX} است . به عبارت دیگر گروه {TEX()} {G} {TEX} توسط مجموعۀ همدسته های چپ (راست) دوبدو متمایز {TEX()} {H} {TEX} افراز میگردد.
نکته:
لازم به ذکر است که این قضیه ها برای همدسته های راست نیز برقرار می باشند.