تاریخچه ی:
گروه همدسته‌ها
تفاوت با نگارش: 3
| | ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| | + | {DYNAMICMENU()} |
| | + | __واژه‌نامه__ |
| | + | *((واژگان جبر)) |
| | + | __مقالات مرتبط__ |
| | + | *((معادله)) |
| | + | *((استقرا)) |
| | + | *((اتحاد)) |
| | + | *((تجزیه)) |
| | + | *((ماتریس)) |
| | + | *((گروه)) |
| | + | *((حلقه)) |
| | + | *((میدان)) |
| | + | *((فضای برداری)) |
| | + | __کتابهای مرتبط__ |
| | + | *((کتابهای جبر)) |
| | + | __[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__ |
| | + | __سایتهای مرتبط__ |
| | + | *سایتهای داخلی |
| | + | **[http://www.tebyan.net/|تبیان] |
| | + | **[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی] |
| | + | *سایتهای خارجی |
| | + | **[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر] |
| | + | **[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری] |
| | + | **[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر] |
| | + | **[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری] |
| | + | **[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری] |
| | + | __گالری تصویر__ |
| | + | *[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم] |
| | + | body= |
| | + | |~| |
| | + | {DYNAMICMENU} |
| | ^@#16: | | ^@#16: |
| | !گروه همدسته ها: | | !گروه همدسته ها: |
| | اگر {TEX()} {G} {TEX}یک ((گروه)) و {TEX()} {a \in G} {TEX} و {TEX()} {H \le G} {TEX} باشند ،آنگاه ((مجموعه)) {TEX()} {aH} {TEX} را به صورت زیر تعریف می‌نماییم : | | اگر {TEX()} {G} {TEX}یک ((گروه)) و {TEX()} {a \in G} {TEX} و {TEX()} {H \le G} {TEX} باشند ،آنگاه ((مجموعه)) {TEX()} {aH} {TEX} را به صورت زیر تعریف می‌نماییم : |
| | @@{TEX()} {aH=\{ah | h \in H \}} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {aH=\{ah | h \in H \}} {TEX}@@ |
| | {TEX()} {aH} {TEX} را همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} می‌نامیم و عضو {TEX()} {a} {TEX} را نماینده {TEX()} {aH} {TEX} گوییم . همچنین {TEX()} {Ha} {TEX} را همدستۀ راست {TEX()} {H} {TEX} نامیده و تعریف می‌کنیم : | | {TEX()} {aH} {TEX} را همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} می‌نامیم و عضو {TEX()} {a} {TEX} را نماینده {TEX()} {aH} {TEX} گوییم . همچنین {TEX()} {Ha} {TEX} را همدستۀ راست {TEX()} {H} {TEX} نامیده و تعریف می‌کنیم : |
| | @@{TEX()} {Ha =\{ha | h \in H \}} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {Ha =\{ha | h \in H \}} {TEX}@@ |
| | !!تذکر: | | !!تذکر: |
| | اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد و {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه {TEX()} {x+H=\{x+h | h \in H\}} {TEX} را همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} برای {TEX()} {x} {TEX} نامیده و همدسته راست {TEX()} {H} {TEX} نیز به صورت {TEX()} {H+x} {TEX} نشان داده می شود. | | اگر {TEX()} {G} {TEX} گروه جمعی باشد و {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه {TEX()} {x+H=\{x+h | h \in H\}} {TEX} را همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} برای {TEX()} {x} {TEX} نامیده و همدسته راست {TEX()} {H} {TEX} نیز به صورت {TEX()} {H+x} {TEX} نشان داده می شود. |
| | !!نکته : | | !!نکته : |
| | # اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه همدستۀ چپ یا راست {TEX()} {H} {TEX} لزوماً ((زیرگروه)) {TEX()} {G} {TEX} نیست. | | # اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه همدستۀ چپ یا راست {TEX()} {H} {TEX} لزوماً ((زیرگروه)) {TEX()} {G} {TEX} نیست. |
| | # همدسته چپ و راست ، لزوماً برابر هم نمی‌باشند. | | # همدسته چپ و راست ، لزوماً برابر هم نمی‌باشند. |
| | !همدسته: | | !همدسته: |
| | اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {a \in G} {TEX} و {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {Ha=aH} {TEX} آنگاه {TEX()} {aH} {TEX} را یک همدسته {TEX()} {H} {TEX} می‌نامیم. | | اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {a \in G} {TEX} و {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {Ha=aH} {TEX} آنگاه {TEX()} {aH} {TEX} را یک همدسته {TEX()} {H} {TEX} می‌نامیم. |
| | --- | | --- |
| | !قضیه 1. | | !قضیه 1. |
| | فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {g_1,g_2} {TEX} دو عضو {TEX()} {G} {TEX} باشند. آنگاه {TEX()} {f_1 ,f_2 ,f_3} {TEX} ((تابع دوسویی|توابعی دوسویی)) هستند ، به طوریکه : | | فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {g_1,g_2} {TEX} دو عضو {TEX()} {G} {TEX} باشند. آنگاه {TEX()} {f_1 ,f_2 ,f_3} {TEX} ((تابع دوسویی|توابعی دوسویی)) هستند ، به طوریکه : |
| | @@{TEX()} {f_1 :g_1H \rightarrow H} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {f_1 :g_1H \rightarrow H} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {f_2 : g_1H \rightarrow g_2H} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {f_2 : g_1H \rightarrow g_2H} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {f_3 : g_1H \rightarrow Hg_2} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {f_3 : g_1H \rightarrow Hg_2} {TEX}@@ |
| | __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| | کافیست توابع مذکور را به ازای هر{TEX()} {h \in H} {TEX} با ضابطه های زیر تعریف کنیم : | | کافیست توابع مذکور را به ازای هر{TEX()} {h \in H} {TEX} با ضابطه های زیر تعریف کنیم : |
| | @@{TEX()} {f_1(g_1h)=h} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {f_1(g_1h)=h} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {f_2(g_1h)=g_2h} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {f_2(g_1h)=g_2h} {TEX}@@ |
| | @@{TEX()} {f_3(g_1h)=hg_2} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {f_3(g_1h)=hg_2} {TEX}@@ |
| | !!نتیجه: | | !!نتیجه: |
| | با توجه به قضیه فوق ، هر گاه {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {H \le G} {TEX}باشد ، آنگاه : | | با توجه به قضیه فوق ، هر گاه {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {H \le G} {TEX}باشد ، آنگاه : |
| | @@{TEX()} {\forall g \in G : |H|=|gH|=|Hg|} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall g \in G : |H|=|gH|=|Hg|} {TEX}@@ |
| | --- | | --- |
| | !قضیه2. | | !قضیه2. |
| | اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {bH} {TEX} همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} باشد ، در صورتیکه {TEX()} {g \in bH} {TEX} آنگاه : | | اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} و {TEX()} {bH} {TEX} همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} باشد ، در صورتیکه {TEX()} {g \in bH} {TEX} آنگاه : |
| | @@{TEX()} {gH=bH} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {gH=bH} {TEX}@@ |
| | __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| | ابتدا ثابت می‌کنیم{TEX()} {gH \subseteq bH} {TEX}: | | ابتدا ثابت می‌کنیم{TEX()} {gH \subseteq bH} {TEX}: |
| | @@{TEX()} {if g \in bH \Rightarrow \exist h \in H ; g=bh \Rightarrow \forall h_1 \in H : gh_1=bhh_1 \Rightarrow gh_1 \in bH \Rightarrow gH \subseteq bH} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {if g \in bH \Rightarrow \exist h \in H ; g=bh \Rightarrow \forall h_1 \in H : gh_1=bhh_1 \Rightarrow gh_1 \in bH \Rightarrow gH \subseteq bH} {TEX}@@ |
| | حال نشان می‌دهیم {TEX()} {bH \subseteq gH} {TEX} : | | حال نشان می‌دهیم {TEX()} {bH \subseteq gH} {TEX} : |
| | @@{TEX()} {if g \in bH \Rightarrow \exists h \in H ; g=bh , H \le G \Rightarrow gh^{-1}=b \Rightarrow \forall h_2 \in H : bh_2=gh^{-1}h_2 \Rightarrow bh_2 \in gh \Rightarrow bH \subseteq gH } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {if g \in bH \Rightarrow \exists h \in H ; g=bh , H \le G \Rightarrow gh^{-1}=b \Rightarrow \forall h_2 \in H : bh_2=gh^{-1}h_2 \Rightarrow bh_2 \in gh \Rightarrow bH \subseteq gH } {TEX}@@ |
| | بنابراین {TEX()} {bH=gH} {TEX} | | بنابراین {TEX()} {bH=gH} {TEX} |
| | !!نکته: | | !!نکته: |
| | هر گاه {TEX()} {G} {TEX} گروه و {TEX()} {H \le G} {TEX} آنگاه {TEX()} {G=\bigcup_{\forall g \in G} gH} {TEX}. | | هر گاه {TEX()} {G} {TEX} گروه و {TEX()} {H \le G} {TEX} آنگاه {TEX()} {G=\bigcup_{\forall g \in G} gH} {TEX}. |
| | __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| | چون {TEX()} {G \le G} {TEX} ، بنابراین یکی از {TEX()} {H} {TEX} ها نقش {TEX()} {G} {TEX} را دارد.لذا : | | چون {TEX()} {G \le G} {TEX} ، بنابراین یکی از {TEX()} {H} {TEX} ها نقش {TEX()} {G} {TEX} را دارد.لذا : |
| | @@{TEX()} {G \subseteq \bigcup_{\forall g \in G} gH } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {G \subseteq \bigcup_{\forall g \in G} gH } {TEX}@@ |
| | اما برای هر {TEX()} {g \in G} {TEX} داریم : | | اما برای هر {TEX()} {g \in G} {TEX} داریم : |
| | @@{TEX()} {gH \subseteq G} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {gH \subseteq G} {TEX}@@ |
| | بنابراین: | | بنابراین: |
| | @@{TEX()} {\bigcup_{\forall g \in G} gH \subseteq G } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\bigcup_{\forall g \in G} gH \subseteq G } {TEX}@@ |
| | پس : | | پس : |
| | @@{TEX()} {\bigcup_{\forall g \in G} gH = G } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\bigcup_{\forall g \in G} gH = G } {TEX}@@ |
| | --- | | --- |
| | !قضیه 3. | | !قضیه 3. |
| | اگر {TEX()} {aH , bH} {TEX} دو همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} باشند که {TEX()} {H \le G} {TEX} ، در این صورت {TEX()} {aH=bH} {TEX} یا {TEX()} {aH \cap bH= \emptyset} {TEX} | | اگر {TEX()} {aH , bH} {TEX} دو همدسته چپ {TEX()} {H} {TEX} باشند که {TEX()} {H \le G} {TEX} ، در این صورت {TEX()} {aH=bH} {TEX} یا {TEX()} {aH \cap bH= \emptyset} {TEX} |
| | !!نتیجه: | | !!نتیجه: |
| | هر گاه {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {H} {TEX} ((زیرگروه)) آن باشد ، آنگاه مجموعۀ همدسته های چپ (راست) {TEX()} {H} {TEX} یک ((افراز )){TEX()} {G} {TEX} است . به عبارت دیگر گروه {TEX()} {G} {TEX} توسط مجموعۀ همدسته های چپ (راست) دوبدو متمایز {TEX()} {H} {TEX} افراز می‌گردد. | | هر گاه {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {H} {TEX} ((زیرگروه)) آن باشد ، آنگاه مجموعۀ همدسته های چپ (راست) {TEX()} {H} {TEX} یک ((افراز )){TEX()} {G} {TEX} است . به عبارت دیگر گروه {TEX()} {G} {TEX} توسط مجموعۀ همدسته های چپ (راست) دوبدو متمایز {TEX()} {H} {TEX} افراز می‌گردد. |
| | !!نکته: | | !!نکته: |
| | لازم به ذکر است که این قضیه ها برای همدسته‌های راست نیز برقرار می‌باشند. | | لازم به ذکر است که این قضیه ها برای همدسته‌های راست نیز برقرار می‌باشند. |
| - | |
+ | --- |
| | !همچنین ببینید: | | !همچنین ببینید: |
| | *((گروه چهارتایی کلاین)) | | *((گروه چهارتایی کلاین)) |
| | *((گروه ساده)) | | *((گروه ساده)) |
| | *((همریختی|همریختی گروه)) | | *((همریختی|همریختی گروه)) |
| - | |
+ | ---
!پیوندهای خارجی
[en.wikipedia.org/wiki/Coset ]
[http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/groups2.html]
[http://www.mathreference.com/grp,sub.html] |
| | #@^ | | #@^ |
