منو
 کاربر Online
1656 کاربر online
تاریخچه ی: گروه مشتق

||V{maketoc}||
^@#16:
!جابجاگر
اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می‌نامند و نشان می‌دهیم :
@@{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}@@

* اگر {TEX()} {G} {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس.
*در حالت کلی ((مجموعه)) تمام جابجاگرها یک ((گروه)) را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصل‌ضرب دو جابجا‌گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
* برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم:
@@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@
---
!گروه مشتق ( گروه جابجاگر‌ها )
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم :
@@{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}@@
که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصل‌ضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را __گروه مشتق__ یا __جابجاگر__ های {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
---
!قضیه‌ها
!!قضیه 1.
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک ((گروه)) باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}

__اثبات :__

می‌دانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}.
حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}:
@@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@
بنابراین:
@@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@
لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}:
@@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@

!!قضیه 2.
اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}

__اثبات:__

فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند.
می‌دانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی ((گروه خارج قسمتی)) {TEX()} {G/N} {TEX} است.
جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می‌گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
@@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@
---
!همچنین ببینید
*((زیرگروه جابجایی))
---
!پیوندهای خارجی
[mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html]

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:57 ]   4   سعید صدری      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:52 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:48 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:47 ]   1   سعید صدری      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..