جابجاگر گروه مشتق ( گروه جابجاگر‌ها ) قضیه‌ها قضیه 1. قضیه 2. همچنین ببینید پیوندهای خارجی

جابجاگر گروه مشتق ( گروه جابجاگر‌ها ) قضیه‌ها قضیه 1. قضیه 2. همچنین ببینید پیوندهای خارجی

^@#16:

جابجاگر

اگر ، آنگاه عنصر را جابجاگر می‌نامند و نشان می‌دهیم :

• اگر گروه جابجایی باشد ،آنگاه و برعکس.
• در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصل‌ضرب دو جابجا‌گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
• برای هر داریم:

---

گروه مشتق ( گروه جابجاگر‌ها )

اگر یک گروه باشد ، مجموعه را به صورت زیر تعریف می کنیم :

که معرف حاصل‌ضرب تعداد متناهی جابجاگر است . را گروه مشتق یا جابجاگر های می نامند.

---

قضیه‌ها

قضیه 1.

اگر یک گروه باشد ،آنگاه

اثبات :

می‌دانیم .زیرا و همچنین .
حال فرض می کنیم دلخواه باشند . ثابت کنیم :

بنابراین:

لذا . حال ثابت می کنیم :

قضیه 2.

اگر و همچنین باشد ،آنگاه جابجایی است اگر و فقط اگر

اثبات:

فرض کنیم عناصر دلخواه باشند.
می‌دانیم عنصر خنثی گروه خارج قسمتی است.
جابجاگر دلخواه را از گروه در نظر می‌گیریم . آنگاه جابجایی است ، اگر و تنها اگر:

---

همچنین ببینید

• زیرگروه جابجایی

---

پیوندهای خارجی

mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html