منو
 کاربر Online
1191 کاربر online
تاریخچه ی: گروه مشتق

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-46Lines: 1-46
 ||V{maketoc}|| ||V{maketoc}||
 ^@#16: ^@#16:
 !جابجاگر !جابجاگر
 اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می‌نامند و نشان می‌دهیم : اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} می‌نامند و نشان می‌دهیم :
 @@{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}@@ @@{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}@@
 * اگر {TEX()} {G} {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس. * اگر {TEX()} {G} {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس.
 *در حالت کلی ((مجموعه)) تمام جابجاگرها یک ((گروه)) را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصل‌ضرب دو جابجا‌گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد . *در حالت کلی ((مجموعه)) تمام جابجاگرها یک ((گروه)) را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصل‌ضرب دو جابجا‌گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
 * برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم: * برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم:
 @@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@ @@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@
 --- ---
 !گروه مشتق ( گروه جابجاگر‌ها ) !گروه مشتق ( گروه جابجاگر‌ها )
 اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم : اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم :
 @@{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}@@ @@{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}@@
 که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصل‌ضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را __گروه مشتق__ یا __جابجاگر__ های {TEX()} {G} {TEX} می نامند.  که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصل‌ضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را __گروه مشتق__ یا __جابجاگر__ های {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
 --- ---
 !قضیه‌ها !قضیه‌ها
 !!قضیه 1. !!قضیه 1.
 اگر {TEX()} {G } {TEX} یک ((گروه)) باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}  اگر {TEX()} {G } {TEX} یک ((گروه)) باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}
 __اثبات :__ __اثبات :__
 می‌دانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}. می‌دانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}.
 حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}: حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}:
 @@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@ @@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@
 بنابراین: بنابراین:
 @@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@ @@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@
 لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}: لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}:
 @@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@ @@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@
 !!قضیه 2. !!قضیه 2.
  اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}  اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}
 __اثبات:__ __اثبات:__
 فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند. فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند.
-می‌دانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی ((گروه خارج قسمتی)) {TEX()} {G/N} {TEX} است. +می‌دانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی ((زیرگروه خارجقسمتی)) {TEX()} {G/N} {TEX} است.
 جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می‌گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر: جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر می‌گیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
 @@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@ @@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@
 --- ---
 !همچنین ببینید !همچنین ببینید
-*((زیرگروه اجیی)) +*((زیرگروه اج‌قمتی))
 --- ---
 !پیوندهای خارجی !پیوندهای خارجی
 [mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html] [mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html]
- +#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:57 ]   4   سعید صدری      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:52 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:48 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:47 ]   1   سعید صدری      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..