منو
 صفحه های تصادفی
سیمای جهنمیان در قرآن
حکم پیامبر اکرم درباره ارث
دانشکده اقتصاد دانشگاه علامه طباطبایی
مبانی و مبادی اتحاد بین مذاهب و ادیان
علی علیه السلام معلّم مردم است
UserPageسید علی محسنی
آخرین سفارش پیامبر در مسجد
جوشکاری سرب
لایه های سیستم فایل
تفریحات سالم در اسلام
 کاربر Online
1019 کاربر online
تاریخچه ی: گروه ساده

||V{maketoc}||
::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} را __ساده__ می‌نامیم ، هرگاه هیچ ((زیرگروه نرمال)) سره نابدیهی ، نداشته باشد.#@||::
^@#16:
!قضیه‌ها
!!قضیه 1.
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {|G|=p} {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} ((اعداد اول|عدد اول)) است ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ساده است.
---
!!قضیه 2.
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) باشد ، {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده باشد.

__اثبات:__

فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ، ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، آنگاه ((گروه)) {TEX()} {G/M} {TEX} ((خوش‌تعریف)) می‌باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است:
((برهان خلف)) :
فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده نباشد ، بنابراین ((زیرگروه نرمال)) سره از {TEX()} {G/M} {TEX} وجود دارد ، لذا {TEX()} {N} {TEX} را ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G/M} {TEX} اختیار می‌کنیم .
فرض می کنیم {TEX()} {\varphi : G \rightarrow G/M} {TEX} یک ((هم‌ریختی گروه)) باشد . لذا {TEX()} {\varphi^{-1}(G/M)} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G} {TEX} است که شامل {TEX()} {M} {TEX} می باشد ؛ که این امر با ((ماکسیمال)) بودن {TEX()} {M} {TEX} تناقض دارد.در نتیجه {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده است .
حال فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است . ثابت می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است:
((برهان خلف)):
فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} نباشد. لذا ((زیرگروه نرمال)) از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {H} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {M<H} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi (H) \triangleleft G/M } {TEX} که {TEX()} {\varphi} {TEX} ((تابع پوشا|پوشا)) است. اما {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است. که این تناقض می‌باشد. پس {TEX()} {H} {TEX} موجود نیست و {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است.
---
!!قضیه 3.
فرض کنید {TEX()} {A,B} {TEX} دو ((زیرگروه نرمال)) {TEX()} {G} {TEX} باشند ، به‌طوری‌که :
1 . {TEX()} {AB=G} {TEX}
2 . {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
آنگاه {TEX()} {G \corg A \times B} {TEX}

__اثبات:__

فرض می‌کنیم {TEX()} {f : A \times B \rightarrow G} {TEX} با ضابطه زیر بیان شده باشد :
{TEX()} {\forall a \in A , b \in B : f(a,b)=ab} {TEX}
نشان می‌دهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((یک‌ریختی گروه)) است :
اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوش‌تعریف)) است . چرا که:
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : (a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c & b=d \Rightarrow ab=cd \Rightarrow f(a,b)=f(c,d)} {TEX}
{TEX()} {f} {TEX} ((هم‌ریختی گروه)) نیز می‌باشد .زیرا طبق لم فوق داریم :
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f((a,b).(c,d))=f(ac,bd)=acbd=abcd=f(a,b)f(c,d) } {TEX}
اکنون نشان می‌دهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((تابع یک به یک)) و ((پوشا)) است :
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f(a,b)=f(c,d) \Rightarrow ab=cd \Rightarrow c^{-1}a=db^{-1} } {TEX}
اما {TEX()} {c^{-1}a \in A , db^{-1} \in B} {TEX}. بنابراین:
{TEX()} {c^{-1}a , db^{-1} \in A \cap B ={e} \Rightarrow [c^{-1}a=e & db^{-1}=e ] \Rightarrow [a=c & b=d ] \Rightarrow (a,b)=(c,d)} {TEX}
اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که {TEX()} {f} {TEX} پوشا است.
---
!!قضیه 4.
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) و{TEX()} {A,B \le G} {TEX} باشد و همچنین :
1 . {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : ab=ba} {TEX}
2 . {TEX()} {\forall g \in G \exists !a \in A , b \in B : g=ab} {TEX}
آنگاه {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}

__اثبات:__

{TEX()} {A,B} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند . چون {TEX()} {g \in G} {TEX} ، بنا به 2 ، پس عناصری مانند {TEX()} {a_1 \in A , b_1 \in B} {TEX} یافت می‌شوند که {TEX()} {g=a_1b_1} {TEX}.بنابراین:
{TEX()} {gag^{-1}=a_1b_1a(a_1b_1)^{-1}=a_1b_1a{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1ab_1{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1a{a_1}^{-1} \in A \Rightarrow A \triangleleft G } {TEX}
مشابهاً {TEX()} {B \triangleleft G } {TEX}
طبق خاصیت 2 :
{TEX()} {\forall g \in G : g=eg=ge} {TEX}
و چون {TEX()} {e \in A} {TEX} ، با توجه به تساوی اول و {TEX()} {g \in A} {TEX} وچون {TEX()} {e \in B} {TEX} طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر {TEX()} {g \in G} {TEX} نتیجه میشود {TEX()} {g=e} {TEX}. لذا {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
همچنین طبق 2 ، {TEX()} {G=AB} {TEX} پس بنا به قضیۀ قبل {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}
---
!لم‌ها
اگر {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیر گروه نرمال گروه ضربی {TEX()} {G} {TEX} باشند و {TEX()} {A \cap B=e} {TEX} ، آنگاه :
{TEX()} {\forall a \in A & b \in B : ab=ba} {TEX}

__اثبات:__

عنصر {TEX()} {[a,b]=aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را در نظر می گیریم . اما :
{TEX()} {ba^{-1}b^{-1} \in A \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A} {TEX}
همچنین :
{TEX()} {aba^{-1} \inB \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in B} {TEX}
بنابراین :
{TEX()} {aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B={e} \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}=e \Rightarrow ab=ba} {TEX}
---
!همچنین ببینید
*((گروه))
---
!پیوندهای خارجی
[mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html ]
[en.wikipedia.org/wiki/Simple_group]
[web.usna.navy.mil/~wdj/tonybook/gpthry/node34.html]
#@^

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:59 ]   8   سعید صدری      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [12:04 ]   7   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [17:04 ]   6   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [17:03 ]   5   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [16:40 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [16:39 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [14:57 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [14:41 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..