||V{maketoc}||
::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G} {TEX} را __ساده__ می‌نامیم ، هرگاه هیچ ((زیرگروه نرمال)) سره نابدیهی ، نداشته باشد.#@||::
^@#16:
!قضیه‌ها
!!قضیه 1.
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) و {TEX()} {|G|=p} {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} ((اعداد اول|عدد اول)) است ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ساده است.
---
!!قضیه 2.
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه)) باشد ، {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده باشد.

__اثبات:__

فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ، ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، آنگاه ((گروه)) {TEX()} {G/M} {TEX} ((خوش‌تعریف)) می‌باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است:
((برهان خلف)) :
فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده نباشد ، بنابراین ((زیرگروه نرمال)) سره از {TEX()} {G/M} {TEX} وجود دارد ، لذا {TEX()} {N} {TEX} را ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G/M} {TEX} اختیار می‌کنیم .
فرض می کنیم {TEX()} {\varphi : G \rightarrow G/M} {TEX} یک ((هم‌ریختی گروه)) باشد . لذا {TEX()} {\varphi^{-1}(G/M)} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) سره {TEX()} {G} {TEX} است که شامل {TEX()} {M} {TEX} می باشد ؛ که این امر با ((ماکسیمال)) بودن {TEX()} {M} {TEX} تناقض دارد.در نتیجه {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده است .
حال فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است . ثابت می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است:
((برهان خلف)):
فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} نباشد. لذا ((زیرگروه نرمال)) از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {H} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {M<H} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi (H) \triangleleft G/M } {TEX} که {TEX()} {\varphi} {TEX} ((تابع پوشا|پوشا)) است. اما {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است. که این تناقض می‌باشد. پس {TEX()} {H} {TEX} موجود نیست و {TEX()} {M} {TEX} ((زیرگروه نرمال)) ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است.
---
!!قضیه 3.
فرض کنید {TEX()} {A,B} {TEX} دو ((زیرگروه نرمال)) {TEX()} {G} {TEX} باشند ، به‌طوری‌که :
1 . {TEX()} {AB=G} {TEX}
2 . {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
آنگاه {TEX()} {G \corg A \times B} {TEX}

__اثبات:__

فرض می‌کنیم {TEX()} {f : A \times B \rightarrow G} {TEX} با ضابطه زیر بیان شده باشد :
{TEX()} {\forall a \in A , b \in B : f(a,b)=ab} {TEX}
نشان می‌دهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((یک‌ریختی گروه)) است :
اما {TEX()} {f} {TEX} ((خوش‌تعریف)) است . چرا که:
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : (a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c & b=d \Rightarrow ab=cd \Rightarrow f(a,b)=f(c,d)} {TEX}
{TEX()} {f} {TEX} ((هم‌ریختی گروه)) نیز می‌باشد .زیرا طبق لم فوق داریم :
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f((a,b).(c,d))=f(ac,bd)=acbd=abcd=f(a,b)f(c,d) } {TEX}
اکنون نشان می‌دهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ((تابع یک به یک)) و ((پوشا)) است :
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f(a,b)=f(c,d) \Rightarrow ab=cd \Rightarrow c^{-1}a=db^{-1} } {TEX}
اما {TEX()} {c^{-1}a \in A , db^{-1} \in B} {TEX}. بنابراین:
{TEX()} {c^{-1}a , db^{-1} \in A \cap B ={e} \Rightarrow [c^{-1}a=e & db^{-1}=e ] \Rightarrow [a=c & b=d ] \Rightarrow (a,b)=(c,d)} {TEX}
اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که {TEX()} {f} {TEX} پوشا است.
---
!!قضیه 4.
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک ((گروه|گروه ضربی)) و{TEX()} {A,B \le G} {TEX} باشد و همچنین :
1 . {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : ab=ba} {TEX}
2 . {TEX()} {\forall g \in G \exists !a \in A , b \in B : g=ab} {TEX}
آنگاه {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}

__اثبات:__

{TEX()} {A,B} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند . چون {TEX()} {g \in G} {TEX} ، بنا به 2 ، پس عناصری مانند {TEX()} {a_1 \in A , b_1 \in B} {TEX} یافت می‌شوند که {TEX()} {g=a_1b_1} {TEX}.بنابراین:
{TEX()} {gag^{-1}=a_1b_1a(a_1b_1)^{-1}=a_1b_1a{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1ab_1{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1a{a_1}^{-1} \in A \Rightarrow A \triangleleft G } {TEX}
مشابهاً {TEX()} {B \triangleleft G } {TEX}
طبق خاصیت 2 :
{TEX()} {\forall g \in G : g=eg=ge} {TEX}
و چون {TEX()} {e \in A} {TEX} ، با توجه به تساوی اول و {TEX()} {g \in A} {TEX} وچون {TEX()} {e \in B} {TEX} طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر {TEX()} {g \in G} {TEX} نتیجه میشود {TEX()} {g=e} {TEX}. لذا {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
همچنین طبق 2 ، {TEX()} {G=AB} {TEX} پس بنا به قضیۀ قبل {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}
---
!لم‌ها
اگر {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیر گروه نرمال گروه ضربی {TEX()} {G} {TEX} باشند و {TEX()} {A \cap B=e} {TEX} ، آنگاه :
{TEX()} {\forall a \in A & b \in B : ab=ba} {TEX}

__اثبات:__

عنصر {TEX()} {[a,b]=aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را در نظر می گیریم . اما :
{TEX()} {ba^{-1}b^{-1} \in A \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A} {TEX}
همچنین :
{TEX()} {aba^{-1} \inB \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in B} {TEX}
بنابراین :
{TEX()} {aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B={e} \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}=e \Rightarrow ab=ba} {TEX}
---
!همچنین ببینید
*((گروه))
---
!پیوندهای خارجی
[mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html ]
[en.wikipedia.org/wiki/Simple_group]
[web.usna.navy.mil/~wdj/tonybook/gpthry/node34.html]
#@^