منو
 کاربر Online
679 کاربر online
تاریخچه ی: گروه ساده

گروه ساده :
گروه {TEX()} {G} {TEX} را ساده می نامیم ، هرگاه هیچ زیرگروه نرمال محض نابدیهی ، نداشته باشد.
نکته:
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {|G|=p} {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} عدد اول است ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ساده است.
قضیه:
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه باشد ، {TEX()} {M} {TEX} زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده باشد.
اثبات:
فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ، زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، آنگاه گروه {TEX()} {G/M} {TEX} تعریف شده می باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است:
برهان خلف :
فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده نباشد ، بنابراین زیرگروه نرمال محض از {TEX()} {G/M} {TEX} وجود دارد ، لذا {TEX()} {N} {TEX} را زیرگروه نرمال محض {TEX()} {G/M} {TEX} اختیار می کنیم .
فرض می کنیم {TEX()} {\varphi : G \rightarrow G/M} {TEX} یک همومورفیسم باشد . لذا {TEX()} {\varphi^{-1}(G/M)} {TEX} زیرگروه نرمال محض {TEX()} {G} {TEX} است که شامل {TEX()} {M} {TEX} می باشد ؛ که این امر با ماکسیمال بودن {TEX()} {M} {TEX} تناقض دارد.در نتیجه {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده است .
حال فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است . ثابت می کنیم {TEX()} {M} {TEX} زیرگروه نرمال ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است:
برهان خلف:
فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} زیرگروه نرمال ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} نباشد. لذا زیرگروه نرمال از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {H} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {M<H} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi (H) \triangleleft G/M } {TEX} که {TEX()} {\varphi} {TEX} پوشا است. اما {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است. که این تناقض می باشد. پس {TEX()} {H} {TEX} موجود نیست و {TEX()} {M} {TEX} زیرگروه نرمال ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است.
لم:
اگر {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیر گروه نرمال گروه ضربی {TEX()} {G} {TEX} باشند و {TEX()} {A \cap B=e} {TEX} ، آنگاه :
{TEX()} {\forall a \in A & b \in B : ab=ba} {TEX}
اثبات:
عنصر {TEX()} {[a,b]=aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را در نظر می گیریم . اما :
{TEX()} {ba^{-1}b^{-1} \in A \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A} {TEX}
همچنین :
{TEX()} {aba^{-1} \inB \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in B} {TEX}
بنابراین :
{TEX()} {aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B={e} \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}=e \Rightarrow ab=ba} {TEX}
قضیه :
فرض کنید {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیرگروه نرمال {TEX()} {G} {TEX} باشند ، بطوریکه :
1 . {TEX()} {AB=G} {TEX}
2 . {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
آنگاه {TEX()} {G \corg A \times B} {TEX}
اثبات:
فرض می کنیم {TEX()} {f : A \times B \rightarrow G} {TEX} با ضابطه زیر بیان شده باشد :
{TEX()} {\forall a \in A , b \in B : f(a,b)=ab} {TEX}
نشان میدهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ایزومورفیسم است :
اما {TEX()} {f} {TEX} خوشتعریف است . چرا که:
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : (a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c & b=d \Rightarrow ab=cd \Rightarrow f(a,b)=f(c,d)} {TEX}
{TEX()} {f} {TEX} همومورفیسم نیز می باشد .زیرا طبق لم فوق داریم :
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f((a,b).(c,d))=f(ac,bd)=acbd=abcd=f(a,b)f(c,d) } {TEX}
اکنون نشان میدهیم {TEX()} {f} {TEX} یک تابع یک به یک و پوشا است :
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f(a,b)=f(c,d) \Rightarrow ab=cd \Rightarrow c^{-1}a=db^{-1} } {TEX}
اما {TEX()} {c^{-1}a \in A , db^{-1} \in B} {TEX}. بنابراین:
{TEX()} {c^{-1}a , db^{-1} \in A \cap B ={e} \Rightarrow [c^{-1}a=e & db^{-1}=e ] \Rightarrow [a=c & b=d ] \Rightarrow (a,b)=(c,d)} {TEX}
اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که {TEX()} {f} {TEX} پوشا است.
قضیه:
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ضربی و{TEX()} {A,B \le G} {TEX} باشد و همچنین :
1 . {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : ab=ba} {TEX}
2 . {TEX()} {\forall g \in G \exists !a \in A , b \in B : g=ab} {TEX}
آنگاه {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}
اثبات:
{TEX()} {A,B} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند . چون {TEX()} {g \in G} {TEX} ، بنا به 2 ، پس عناصری مانند {TEX()} {a_1 \in A , b_1 \in B} {TEX} یافت میشوند که {TEX()} {g=a_1b_1} {TEX}.بنابراین:
{TEX()} {gag^{-1}=a_1b_1a(a_1b_1)^{-1}=a_1b_1a{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1ab_1{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1a{a_1}^{-1} \in A \Rightarrow A \triangleleft G } {TEX}
مشابهاً {TEX()} {B \triangleleft G } {TEX}
طبق خاصیت 2 :
{TEX()} {\forall g \in G : g=eg=ge} {TEX}
و چون {TEX()} {e \in A} {TEX} ، با توجه به تساوی اول و {TEX()} {g \in A} {TEX}وچون {TEX()} {e \in B} {TEX} طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر {TEX()} {g \in G} {TEX} نتیجه میشود {TEX()} {g=e} {TEX}. لذا {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
همچنین طبق 2 ، {TEX()} {G=AB} {TEX} پس بنا به قضیۀ قبل {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [11:59 ]   8   سعید صدری      جاری 
 دوشنبه 04 اردیبهشت 1385 [11:04 ]   7   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [16:04 ]   6   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [16:03 ]   5   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [15:40 ]   4   سعید صدری      v  c  d  s 
 دوشنبه 28 فروردین 1385 [15:39 ]   3   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:57 ]   2   سعید صدری      v  c  d  s 
 شنبه 26 فروردین 1385 [13:41 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..