تاریخچه ی:
گروه ساده
گروه ساده :
گروه {TEX()} {G} {TEX} را ساده می نامیم ، هرگاه هیچ زیرگروه نرمال محض نابدیهی ، نداشته باشد.
نکته:
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه و {TEX()} {|G|=p} {TEX} که {TEX()} {p} {TEX} عدد اول است ، آنگاه {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ساده است.
قضیه:
اگر {TEX()} {G} {TEX} یک گروه باشد ، {TEX()} {M} {TEX} زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده باشد.
اثبات:
فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} ، زیرگروه نرمال ماکسیمال {TEX()} {G} {TEX} است ، آنگاه گروه {TEX()} {G/M} {TEX} تعریف شده می باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است:
برهان خلف :
فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده نباشد ، بنابراین زیرگروه نرمال محض از {TEX()} {G/M} {TEX} وجود دارد ، لذا {TEX()} {N} {TEX} را زیرگروه نرمال محض {TEX()} {G/M} {TEX} اختیار می کنیم .
فرض می کنیم {TEX()} {\varphi : G \rightarrow G/M} {TEX} یک همومورفیسم باشد . لذا {TEX()} {\varphi^{-1}(G/M)} {TEX} زیرگروه نرمال محض {TEX()} {G} {TEX} است که شامل {TEX()} {M} {TEX} می باشد ؛ که این امر با ماکسیمال بودن {TEX()} {M} {TEX} تناقض دارد.در نتیجه {TEX()} {G/M} {TEX} گروه ساده است .
حال فرض می کنیم {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است . ثابت می کنیم {TEX()} {M} {TEX} زیرگروه نرمال ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است:
برهان خلف:
فرض می کنیم {TEX()} {M} {TEX} زیرگروه نرمال ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} نباشد. لذا زیرگروه نرمال از {TEX()} {G} {TEX} ، مانند {TEX()} {H} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {M<H} {TEX}. آنگاه {TEX()} {\varphi (H) \triangleleft G/M } {TEX} که {TEX()} {\varphi} {TEX} پوشا است. اما {TEX()} {G/M} {TEX} ساده است. که این تناقض می باشد. پس {TEX()} {H} {TEX} موجود نیست و {TEX()} {M} {TEX} زیرگروه نرمال ماکسیمال از {TEX()} {G} {TEX} است.
لم:
اگر {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیر گروه نرمال گروه ضربی {TEX()} {G} {TEX} باشند و {TEX()} {A \cap B=e} {TEX} ، آنگاه :
{TEX()} {\forall a \in A & b \in B : ab=ba} {TEX}
اثبات:
عنصر {TEX()} {[a,b]=aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را در نظر می گیریم . اما :
{TEX()} {ba^{-1}b^{-1} \in A \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A} {TEX}
همچنین :
{TEX()} {aba^{-1} \inB \Rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in B} {TEX}
بنابراین :
{TEX()} {aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B={e} \Rightarrow aba^{-1}b^{-1}=e \Rightarrow ab=ba} {TEX}
قضیه :
فرض کنید {TEX()} {A,B} {TEX} دو زیرگروه نرمال {TEX()} {G} {TEX} باشند ، بطوریکه :
1 . {TEX()} {AB=G} {TEX}
2 . {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
آنگاه {TEX()} {G \corg A \times B} {TEX}
اثبات:
فرض می کنیم {TEX()} {f : A \times B \rightarrow G} {TEX} با ضابطه زیر بیان شده باشد :
{TEX()} {\forall a \in A , b \in B : f(a,b)=ab} {TEX}
نشان میدهیم {TEX()} {f} {TEX} یک ایزومورفیسم است :
اما {TEX()} {f} {TEX} خوشتعریف است . چرا که:
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : (a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c & b=d \Rightarrow ab=cd \Rightarrow f(a,b)=f(c,d)} {TEX}
{TEX()} {f} {TEX} همومورفیسم نیز می باشد .زیرا طبق لم فوق داریم :
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f((a,b).(c,d))=f(ac,bd)=acbd=abcd=f(a,b)f(c,d) } {TEX}
اکنون نشان میدهیم {TEX()} {f} {TEX} یک تابع یک به یک و پوشا است :
{TEX()} {\forall (a,b),(c,d) \in A \times B : f(a,b)=f(c,d) \Rightarrow ab=cd \Rightarrow c^{-1}a=db^{-1} } {TEX}
اما {TEX()} {c^{-1}a \in A , db^{-1} \in B} {TEX}. بنابراین:
{TEX()} {c^{-1}a , db^{-1} \in A \cap B ={e} \Rightarrow [c^{-1}a=e & db^{-1}=e ] \Rightarrow [a=c & b=d ] \Rightarrow (a,b)=(c,d)} {TEX}
اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که {TEX()} {f} {TEX} پوشا است.
قضیه:
فرض کنید {TEX()} {G} {TEX} یک گروه ضربی و{TEX()} {A,B \le G} {TEX} باشد و همچنین :
1 . {TEX()} {\forall a \in A , b \in B : ab=ba} {TEX}
2 . {TEX()} {\forall g \in G \exists !a \in A , b \in B : g=ab} {TEX}
آنگاه {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}
اثبات:
{TEX()} {A,B} {TEX} در {TEX()} {G} {TEX} نرمال هستند . چون {TEX()} {g \in G} {TEX} ، بنا به 2 ، پس عناصری مانند {TEX()} {a_1 \in A , b_1 \in B} {TEX} یافت میشوند که {TEX()} {g=a_1b_1} {TEX}.بنابراین:
{TEX()} {gag^{-1}=a_1b_1a(a_1b_1)^{-1}=a_1b_1a{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1ab_1{b_1}^{-1}{a_1}^{-1}=a_1a{a_1}^{-1} \in A \Rightarrow A \triangleleft G } {TEX}
مشابهاً {TEX()} {B \triangleleft G } {TEX}
طبق خاصیت 2 :
{TEX()} {\forall g \in G : g=eg=ge} {TEX}
و چون {TEX()} {e \in A} {TEX} ، با توجه به تساوی اول و {TEX()} {g \in A} {TEX}وچون {TEX()} {e \in B} {TEX} طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر {TEX()} {g \in G} {TEX} نتیجه میشود {TEX()} {g=e} {TEX}. لذا {TEX()} {A \cap B={e}} {TEX}
همچنین طبق 2 ، {TEX()} {G=AB} {TEX} پس بنا به قضیۀ قبل {TEX()} {G \cong A \times B} {TEX}