گروه ساده :
گروه
را ساده می نامیم ، هرگاه هیچ زیرگروه نرمال محض نابدیهی ، نداشته باشد.
نکته:
اگر
یک گروه و
که
عدد اول است ، آنگاه
یک گروه ساده است.
قضیه:
اگر
یک گروه باشد ،
زیرگروه نرمال ماکسیمال
است ، اگر و فقط اگر
گروه ساده باشد.
اثبات:
فرض می کنیم
، زیرگروه نرمال ماکسیمال
است ، آنگاه گروه
تعریف شده می باشد . ثابت می کنیم
ساده است:
برهان خلف :
فرض می کنیم
ساده نباشد ، بنابراین زیرگروه نرمال محض از
وجود دارد ، لذا
را زیرگروه نرمال محض
اختیار می کنیم .
فرض می کنیم
یک همومورفیسم باشد . لذا
زیرگروه نرمال محض
است که شامل
می باشد ؛ که این امر با ماکسیمال بودن
تناقض دارد.در نتیجه
گروه ساده است .
حال فرض می کنیم
ساده است . ثابت می کنیم
زیرگروه نرمال ماکسیمال از
است:
برهان خلف:
فرض می کنیم
زیرگروه نرمال ماکسیمال از
نباشد. لذا زیرگروه نرمال از
، مانند
وجود دارد که
. آنگاه
که
پوشا است. اما
ساده است. که این تناقض می باشد. پس
موجود نیست و
زیرگروه نرمال ماکسیمال از
است.
لم:
اگر
دو زیر گروه نرمال گروه ضربی
باشند و
، آنگاه :
اثبات:
عنصر
را در نظر می گیریم . اما :
همچنین :
بنابراین :
قضیه :
فرض کنید
دو زیرگروه نرمال
باشند ، بطوریکه :
1 .
2 .
آنگاه
اثبات:
فرض می کنیم
با ضابطه زیر بیان شده باشد :
نشان میدهیم
یک ایزومورفیسم است :
اما
خوشتعریف است . چرا که:
همومورفیسم نیز می باشد .زیرا طبق لم فوق داریم :
اکنون نشان میدهیم
یک تابع یک به یک و پوشا است :
اما
. بنابراین:
اما با توجه به خاصیت 1 واضح است که
پوشا است.
قضیه:
فرض کنید
یک گروه ضربی و
باشد و همچنین :
1 .
2 .
آنگاه
اثبات:
در
نرمال هستند . چون
، بنا به 2 ، پس عناصری مانند
یافت میشوند که
.بنابراین:
مشابهاً
طبق خاصیت 2 :
و چون
، با توجه به تساوی اول و
وچون
طبق تساوی دوم ، بنا به منحصر بفرد بودن نمایش عنصر
نتیجه میشود
. لذا
همچنین طبق 2 ،
پس بنا به قضیۀ قبل